[논문 리뷰] Asymptotic energy conservation in periodically driven many-body systems

Dmitry A. Abanin, Wojciech De Roeck외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

Quantum many-body systems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 주기적으로 구동되는 양자 스핀 체계와 에너지 스케일이 분리된 시스템에서 전열화(prethermalization)를 엄밀하게 기반으로 한 프레임워크를 수립한다. 고주파 구동 조건에서나 Fermi-Hubbard 모형에서 $U \gg J$ 조건에서, 효과적인 국소 해밀토니안 $\u02c7 D$ 가 quasi-지수적 시간 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ 동안 시스템의 동역학을 지배하며, 이 시간 동안 $\tau_*$ 까지 효과적인 해밀토니안은 보존량으로 작용한다. 이는 장수한 에너지 비평형 상태를 설명한다.

ABSTRACT

Prethermalization refers to the transient phenomenon where a system thermalizes according to a Hamiltonian that is not the generator of its evolution. We provide here a rigorous framework for quantum spin systems where prethermalization is exhibited for very long times. First, we consider quantum spin systems under periodic driving at high frequency $ u$. We prove that up to a quasi-exponential time $ au_* \sim e^{c \frac{ u}{\log^3 u}}$, the system barely absorbs energy. Instead, there is an effective local Hamiltonian $\hat D$ that governs the time evolution up to $ au_*$, and hence this effective Hamiltonian is a conserved quantity up to $ au_*$. Next, we consider systems without driving, but with a separation of energy scales in the Hamiltonian. A prime example is the Fermi-Hubbard model where the interaction $U$ is much larger than the hopping $J$. Also here we prove the emergence of an effective conserved quantity, different from the Hamiltonian, up to a time $ au_*$ that is (almost) exponential in $U/J$.

연구 동기 및 목표

• 주기적으로 구동되는 양자 스핀 체계에서 고주파 구동 조건 하에서 전열화의 존재를 엄밀하게 확립하는 것.
• 시간 $\tau_*$ 까지 시스템의 동역학을 지배하는 효과적인 국소 해밀토니안 $\u02c7 D$ 를 규명하는 것.
• 구동이 없는 시스템이지만 에너지 스케일이 분리된 경우, 예를 들어 Fermi-Hubbard 모형에서 $U \gg J$ 인 경우에도 프레임워크를 확장하는 것.
• 장시간에 걸쳐 원래 해밀토니안과 다름없는 보존량이 어떻게 나타나는지 증명하는 것.
• 전열화 시간 $\tau_*$ 를 구동 주파수 $\omega$ 또는 에너지 스케일 비율 $U/J$ 로 정량화하는 것.

제안 방법

• 고주파 전개 기법을 사용하여 시간 $\tau_*$ 까지의 시간 진화를 근사하는 효과적인 해밀토니안 $\u02c7 D$ 를 유도하는 것.
• Magnus 전개의 수렴에 대한 엄밀한 경계를 적용하여 효과적 동역학의 오차를 제어하는 것.
• 고주파 구동 조건에서 전열화 시간 $\tau_*$ 에 대한 quasi-지수적 경계 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ 를 확립하는 것.
• Fermi-Hubbard 모형에서 $U \gg J$ 인 비구동 시스템에 동일한 방법을 적용하여 확장하는 것.
• $\u02c7 D$ 가 원래 해밀토니안과 다름에도 불구하고 $\tau_*$ 까지 보존량으로 작용함을 증명하는 것.
• 스펙트럼 갭 추정과 국소성 경계를 사용하여 효과적인 해밀토니안이 국소적이고 물리적으로 의미 있는 유지되는지 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적으로 구동되는 양자 스핀 체계에서 quasi-지수적 시간 동안 시스템의 동역학을 지배하는 엄밀한 효과적인 해밀토니안을 도출할 수 있는가?
• RQ2 전열화 시간 $\tau_*$ 는 구동 주파수 $\omega$ 와 어떻게 정확히 스케일링되는가?
• RQ3 에너지 스케일이 분리된 비구동 시스템, 예를 들어 $U \gg J$ 인 경우에 보존량이 나타나는가?
• RQ4 효과적인 해밀토니안 $\u02c7 D$ 는 원래 해밀토니안과 어떻게 다를 수 있으며, 왜 $\tau_*$ 까지 보존량으로 작용하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 $U \gg J$ 인 Fermi-Hubbard 모형과 같은 시스템으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 고주파 주기적 구동 조건에서, 시스템은 시간 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ 까지 전열화 상태를 유지하며, 이는 $\omega$ 에 대해 quasi-지수적으로 긴 시간이다.
• 효과적인 국소 해밀토니안 $\u02c7 D$ 가 $\tau_*$ 까지 시스템의 시간 진화를 지배하며, 이로 인해 $\tau_*$ 까지 보존량으로 작용한다.
• 에너지 스케일이 분리된 시스템, 예를 들어 Fermi-Hubbard 모형에서 $U \gg J$ 인 경우, $\tau_*$ 까지 효과적인 보존량이 나타나며, 이 시간은 $U/J$ 에 대해 거의 지수적이다.
• 효과적인 해밀토니안 $\u02c7 D$ 는 원래 해밀토니안과 다름에도 불구하고 전열화 창구 동안 시스템의 동역학을 지배한다.
• 유도 과정은 Magnus 전개에 대한 엄밀한 경계와 스펙트럼 갭 추정에 기반하여, 효과적 기술의 타당성을 보장한다.
• 결과적으로 이는 양자 다체계에서 장수한 비평형 동역학을 이해하는 일반적인 프레임워크를 수립한다.