[논문 리뷰] Automorphic vector bundles with global sections on $G$-${ t Zip}^{\mathcal Z}$-schemes

Wushi Goldring, Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연결 허지 유형의 $G$-zip 스킴에서 자동형 벡터 번들의 전역 단위가 존재하는 경우에 대한 추측을 제안하며, $A_1^n$, $C_2$, 및 $ F_p$-분할된 $A_2$ 유형의 군에 대해 이를 증명한다. 전역 단위는 $G$-zip 스택과 분류 사상의 기하학에 의해 제어되며, 비연결 허지 유형이 아닌 zip 자료에 대해 반례를 제시하여 추측이 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

A general conjecture is stated on the cone of automorphic vector bundles admitting nonzero global sections on schemes endowed with a smooth, surjective morphism to a stack of $G$-zips of connected-Hodge-type; such schemes should include all Hodge-type Shimura varieties with hyperspecial level. We prove our conjecture for groups of type $A_1^n$, $C_2$ and $\mathbf F_p$-split groups of type $A_2$ (this includes all Hilbert-Blumenthal varieties and should also apply to Siegel modular threefolds and Picard modular surfaces). An example is given to show that our conjecture can fail for zip data not of connected-Hodge-type.

연구 동기 및 목표

• 스킴 $X$가 $G$-zip 스택 $\GZip^\Zcal$ 에로 부드럽고 전순사 사상 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ 을 갖는 경우, 그 전역 기하학이 스택과 사상 $\zeta$ 에 의해 얼마나 제어되는지 이해하는 것.
• 연결 허지 유형의 $G$-zip 스킴에서 전역 단위가 존재하는 자동형 벡터 번들의 코너에 대한 일반적 추측을 제안하고 이를 증명하는 것.
• 특정 군인 $A_1^n$, $C_2$, 및 $ F_p$-분할된 $A_2$ 에 대해 추측을 확립하는 것. 이에는 모든 힐버트-블룸נטל 다양체가 포함된다.
• 비연결 허지 유형이 아닌 zip 자료에 대해 반례를 제시하여 추측이 성립하지 않음을 보여주는 것.
• 자동형 선 번들의 경우와 전역 단위에 관해 코너 $C_Y$, $C_\mathcal{Y}$, 및 $C_{\operatorname{Sbt}}$ 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 시문 다양체와 허지 이론에서 유래된 $G$-지프와 그에 관련된 스택 $\GZip^\Zcal$ 이론을 활용한다.
• 무게 격자에 속한 문자 $\lambda$ 와 관련된 구성 $\mathscr{V}(\lambda)$ 를 통해 자동형 벡터 번들을 적용한다.
• 전역 단위가 존재하는 문자의 코너 $C_Y$ 와 $G$-지프 구조에서 유도된 코너 $C_\mathcal{Y}$ 를 비교한다.
• 포함사상 $\iota: \tilde{G} \to G$ 를 통한 문자의 역상 촬영을 이용하여 코ха라터 군의 쌍대군에 대한 무게 격자의 이미지를 분석한다.
• 켐프의 퇴적 정리와 앰플리튜드 기준을 적용하여 특정 선 번들의 전역 단위 존재를 유추한다.
• 행렬의 역행렬과 선형 부등식을 사용하여 쌍대 공간에서 코너 $C'_{\mathcal{Y}}$ 를 묘사하고, 특정 문자가 속하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스킴 $X$ 가 부드럽고 전순사 사상 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ 을 갖는 경우, 그 전역 기하학이 스택 $\GZip^\Zcal$ 과 사상 $\zeta$ 에 의해 얼마나 제어되는가?
• RQ2 전역 단위가 존재하는 문자의 코너 $C_Y$ 와 $G$-지프 구조에서 유도된 코너 $C_\mathcal{Y}$ 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 연결 허지 유형의 모든 $G$-zip 스킴에 대해 $C_Y = C_\mathcal{Y}$ 라는 추측이 성립하는가?
• RQ4 비연결 허지 유형이 아닌 zip 자료에 대해 추측이 성립하지 않음을 보일 수 있으며, 만약 그렇다면 그 방법은 무엇인가?
• RQ5 $G = GSp(6)$ 이고 $X = \mathcal{A}_{3,K}$ 인 경우, 코너 $C_{\operatorname{Sbt}}$, $C_\mathcal{Y}$, 및 $C_Y$ 는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 유형 $A_1^n$, $C_2$, 및 $ F_p$-분할된 $A_2$ 에 대해 $C_Y = C_\mathcal{Y}$ 라는 추측이 성립하며, 이는 모든 힐버트-블룸נטל 다양체를 포함한다.
• $G = GSp(6)$ 인 경우, 코너 $C_Y$ 는 $C_{\operatorname{Sbt}}$ 를 엄격히 포함하며, 전역 단위의 코너가 특별한 섬유에서 끌어올린 단위로는 포괄되지 않음을 보여준다.
• $G = GSp(6)$ 이고 $X = \mathcal{A}_{3,K}$ 인 반례는 zip 자료가 연결 허지 유형이 아닐 경우 $C_Y \neq C_\mathcal{Y}$ 를 보여준다.
• 모든 $n, m \geq 1$ 에 대해 $\iota^*(\lambda_n) = (-(p+1+n), p^2+n, p^2+1+n)$ 인 문자 $\lambda_n$ 은 전역 단위가 없으며, 따라서 $\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$ 이다.
• 비록 $\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$ 이지만, 큰 $n$ 에 대해 선 번들 $\mathscr{L}_Y(\lambda_n)$ 는 앰플리튜드이므로 $\lambda_n \in C_Y$ 이며, 이에 따라 $C_Y \neq C_\mathcal{Y}$ 이다.
• $G = GSp(6)$ 인 경우, 코너 $C_\mathcal{Y}$ 는 $C_{\operatorname{Sbt}}$ 보다 엄격히 크며, 이는 이전에 상정된 것보다 더 복잡한 구조를 지닌다는 것을 시사한다.