[논문 리뷰] Average Symmetry-Protected Topological Phases

Ruochen Ma, Chong Wang|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 06.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 84인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정확한 대칭성에 의해 보호되지 않고, 불순성 평균화에 의해만 보존되는 대칭성에 의해 보호되는 평균 대칭 보호(topological, ASPT) 상의 개념을 도입한다. 장벽을 장식하는 방법을 사용하여, 장식된 결함이 (0+1)d 이상의 차원을 가질 경우, 열역학적 극한에서 경계가 거의 확실히 장거리 얽힘을 가진다는 것을 보여주며, t’Hooft 이상을 평균 대칭성으로 일반화하고, '평균 이상'이라 불리는 개념을 도입하며, 격자 대칭성이 정확히 유지되지 않더라도 평균적으로 유지되는 경우에도 LSM 정리의 범위를 확장한다.

ABSTRACT

Symmetry-protected topological (SPT) phases are many-body quantum states that are topologically nontrivial as long as the relevant symmetries are unbroken. In this work we show that SPT phases are also well defined for average symmetries, where quenched disorders locally break the symmetries, but restore the symmetries upon disorder averaging. An example would be crystalline SPT phases with imperfect lattices. Specifically, we define the notion of average SPT for disordered ensembles of quantum states. We then classify and characterize a large class of average SPT phases using a decorated domain wall approach, in which domain walls (and more general defects) of the average symmetries are decorated with lower dimensional topological states. We then show that if the decorated domain walls have dimension higher than $(0+1)d$, then the boundary states of such average SPT will almost certainly be long-range entangled, with probability approaching $1$ as the system size approaches infinity. This generalizes the notion of t'Hooft anomaly to average symmetries, which we dub "average anomaly". The average anomaly can also manifest as constraints on lattice systems similar to the Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorems, but with only average lattice symmetries. We also generalize our problem to "quantum disorders" that can admit short-range entanglement on their own, and develop a theory of such generalized average SPTs purely based on density matrices and quantum channels. Our results indicate that topological quantum phenomena associated with average symmetries can be at least as rich as those with ordinary exact symmetries.

연구 동기 및 목표

• 지속적인 불순성으로 대칭성이 깨지지만 평균화 과정에서 복원되는 평균 대칭성 하에서 대칭 보호(topological, SPT) 상에 대한 체계적인 프레임워크를 수립하는 것.
• 정확한 대칭성 보존이 아닌 평균 대칭성 보존만 존재하는 불순성 시스템에서, 부피의 위상적 불변량과 경계 제약 조건이 여전히 의미 있는지 여부를 다루며, 특히 격자 결함이 있는 결정계 SPT에서의 적용을 고려하는 것.
• 정확한 대칭성 보존이 아닌 평균적으로만 보존되는 경우에 t’Hooft 이상과 리브-슐츠-매티스(LSM) 정리를 일반화하는 것.
• 밀도 행렬과 양자 채널을 사용하여 일반화된 평균 SPT를 개발하여, 개방된 양자 시스템과 국소적으로 얽힌 양자 불순성에 적용 가능한 이론을 수립하는 것.
• 개별 불순성 실현이 애드아바틱으로 연결되어 있는 불순성 집합에서 위상적 순서의 강건성을 탐색하고, ASPT 상의 체계적 분류를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 불순성 실현에 대한 평균화 과정에서만 대칭성이 유지되는 불순성 집합을 통해 평균 SPT 상의 개념을 도입하고, 새로운 위상 상의 클래스를 정의하는 것.
• 장식된 도메인 월 방법을 사용하여 ASPT 상을 분류하며, 평균 대칭성의 도메인 월에 저차원 위상 상태를 장식하는 것.
• 복제 장 이론을 사용하여 위상적 반응을 계산하고, 평균 대칭성 하에서 장식된 도메인 월 구성의 일관성 조건을 유도하는 것.
• 장식된 도메인 월의 차원이 (0+1)d를 초과할 경우, 열역학적 극한에서 ASPT 상태의 경계가 거의 확실히 장거리 얽힘을 가진다는 것을 증명하며, 확률은 1에 수렴한다.
• 자신들만의 양자 불순성이 국소적으로 얽혀 있는 경우에도 적용 가능한, 양자 채널과 밀도 행렬을 사용하여 일반화된 평균 SPT를 정의하는 것.
• 평균 이상과 격자 시스템의 제약 조건 사이의 연결 고리를 확립하며, 이는 정확한 격자 대칭성 대신 평균적으로만 유지되는 경우에도 적용 가능한, LSM 정리와 유사한 제약 조건을 제공하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불순성 있는 양자 many-body 시스템에서 정확한 대칭성이 아닌 평균적으로만 보존되는 대칭성에 의해 위상적 순서가 보호될 수 있는가?
• RQ2 t’Hooft 이상의 개념을 평균 대칭성으로 일반화할 수 있으며, 그로 인해 경계 물리학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 정확한 격자 대칭성이 아닌 평균적으로만 유지되는 경우, 리브-슐츠-매티스 유사 제약 조건이 얼마나 유지되는가?
• RQ4 평균 대칭성 하에서 장식된 도메인 월 구성 방법을 사용하여 평균 SPT 상의 일관된 분류가 가능할 수 있는가?
• RQ5 양자 채널과 밀도 행렬은 개방된 양자 시스템에서 일반화된 평균 SPT 상을 어떻게 수립하는가?

주요 결과

• 지속적인 불순성 집합에서 국소 대칭성이 깨지지만 평균화 과정에서 복원되는 경우, 평균 SPT 상은 잘 정의되며, 정확한 대칭성 보존을 넘어서 위상적 순서 개념을 확장한다.
• 장식된 도메인 월의 차원이 (0+1)d를 초과할 경우, 열역학적 극한에서 평균 SPT 상태의 경계는 거의 확실히 장거리 얽힘을 가지며, 확률은 1에 수렴한다.
• 논문은 '평균 이상'이라는 개념을 도입한다. 이는 t’Hooft 이상을 평균 대칭성으로 일반화한 것으로, 비자명한 경계 상태 존재에 대한 부피 제약 조건을 제공한다.
• 평균 이상은 정확한 격자 대칭성이 아닌 평균적으로만 유지되는 경우에도, 리브-슐츠-매티스 정리와 유사한 격자 시스템 제약 조건을 유도한다.
• 밀도 행렬과 양자 채널을 사용하여 일반화된 평균 SPT 이론을 개발하여, 국소적으로 얽힌 양자 불순성을 가진 상을 기술할 수 있다.
• 이 프레임워크는 평균 대칭성 하에서 위상적 양자 현상이 정확한 대칭성 하에서의 것만큼 풍부할 수 있으며, 청소된 상태에서는 존재하지 않는 새로운 상이 존재할 수 있음을 드러낸다.