[논문 리뷰] Bicategorical fibration structures and stacks

Dorette Pronk, Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이원군의 분할 구조와 이원군의 구조를 갖춘 이원군의 계열을 도입하여, 약한 동치를 유니버설하게 반전시키면서 소형의 내부 카테고리와 2-범주적 구조를 유지하는 호모토피 이원군 Ho(ℬ)를 구성한다. 주요 결과는 어떤 사이트에 대한 스택의 2-범주가 전처리의 호모토피 2-범주와 동치이며, 이는 관련 스택을 통한 분할 보정을 통해 위상적, 미분가능하고 대수기하학적 스택에 응용된다.

ABSTRACT

The familiar construction of categories of fractions, due to Gabriel and Zisman, allows one to invert a class W of arrows in a category in a universal way. Similarly, bicategories of fractions allow one to invert a collection of arrows in a bicategory. In this case the arrows are inverted in the sense that they are made into equivalences. As with categories of fractions, bicategories of fractions suffer from the defect that they need not be locally small even when the bicategory in which W lives is locally small. Similarly, in the case where W is a class of arrows in a 2-category, the bicategory of fractions will not in general be a 2-category. In this paper we introduce two notions ---systems of fibrant objects and fibration systems--- which will allow us to associate to a bicategory B a homotopy bicategory Ho(B) in such a way that Ho(B) is the universal way to invert weak equivalences in B. This construction resolves both of the difficulties with bicategories of fractions mentioned above. We also describe a fibration system on the 2-category of prestacks on a site and prove that the resulting homotopy bicategory is the 2-category of stacks. Further examples considered include algebraic, differentiable and topological stacks.

연구 동기 및 목표

• 이원군의 분할 구조가 원래 이원군이 국소적으로 소형이거나 2-범주일지라도 소형 내부 카테고리를 생성하지 못하거나 2-범주를 유지하지 못하는 이원군의 분할 구조의 한계를 해결하기 위해.
• 약한 동치를 이원군에서 유니버설하게 반전시키기 위한 공식적 프레임워크—분할 물체의 계열과 이원군의 구조를 통해—제시하기 위해.
• 관련 스택을 통한 분할 보정을 통해 전처리의 호모토피 2-범주로 스택을 특성화하기 위해.
• 위상적, 미분가능하고 대수기하학적 스택을 동일한 호모토피 이론적 프레임워크를 통해 통합적으로 다루기 위해.
• 모델 유사 구조를 이원군에 확장하여 (∞,2)- 및 (∞,n)-범주 이론의 발전을 지원하기 위해.

제안 방법

• 약한 동치의 집합 𝒲, 이원군 ℬ에서 ℬ로의 편의 함자 Q: ℬ → ℬ(분할 보정), 그리고 각 성분이 𝒲에 속하는 1ℬ ⇒ Q로의 편의 자연변환 η: 1ℬ ⇒ Q로 구성된 이원군 ℬ 내의 분할 물체의 계열을 도입하며, 인수화 조건을 만족시킨다.
• ℬ에 대한 𝒲에 대한 유니버설 국소화로서 호모토피 이원군 Ho(ℬ)를 구성하며, ℬ가 소형일 경우 Ho(ℬ)도 소형 내부 카테고리를 가지며, ℬ가 2-범주일 경우 Ho(ℬ)도 2-범주임을 보장한다.
• 이원군의 구조를 분할 물체의 계열을 강화한 것으로 정의하며, 추가로 경로 물체와 인수화 보조정리의 성질을 포함한다.
• 사이트 𝒞 위의 전처리의 2-범주 PreSt(𝒞)에 이 프레임워크를 적용하며, 관련 스택 함자를 분할 보정으로 사용한다.
• 모든 전처리 A에 대해 차트 e를 갖는 경우, 관련 스택 구성이 국소적 약한 동치 A → Q(A,e)를 유도함을 증명하며, 이는 호모토피 이원군이 스택을 분류할 수 있음을 보장한다.
• 위상적, 미분가능하고 대수기하학적 사이트에 대해 동일한 분할 보정 메커니즘을 통해 스택의 2-범주와 Ho(PreSt(𝒞)) 사이의 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 이원군이 국소적으로 소형이거나 2-범주일 경우에도 결과로 얻어지는 호모토피 이원군이 소형 내부 카테고리이자 2-범주가 되도록 약한 동치의 이원군적 국소화를 구성할 수 있는가?
• RQ2 관련 스택을 통한 분할 보정을 통해 스택의 2-범주가 전처리의 호모토피 2-범주로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 이원군 내에서 경로 물체와 인수화 보조정리를 확보하기 위해 분할 물체의 계열보다 더 추가적인 구조가 필요한가?
• RQ4 위상적, 미분가능하고 대수기하학적 설정 간에 동일한 호모토피 이론적 프레임워크를 통해 스택 이론을 어느 정도 통합할 수 있는가?
• RQ5 이원군 내의 이원군의 구조가 (∞,2)- 및 (∞,n)-범주 이론의 발전을 위한 모델 구조의 공식적 유사물이 될 수 있는가?

주요 결과

• 분할 물체의 계열을 갖춘 이원군 ℬ에서 구성된 호모토피 이원군 Ho(ℬ)는 ℬ가 소형일 경우 항상 소형 내부 카테고리를 가지며, 이는 이원군의 분할 구조에서의 핵심 결함을 해결한다.
• ℬ가 2-범주일 경우 Ho(ℬ)도 2-범주이며, 이는 국소화가 2-범주적 구조를 유지함을 보장한다.
• 사이트 𝒞 위의 전처리의 2-범주 PreSt(𝒞)에 대해, 관련 스택 구성은 국소적 약한 동치에 대해 분할 물체의 계열을 제공하는 분할 보정을 제공한다.
• 호모토피 2-범주 Ho(PreSt(𝒞))는 𝒞 위의 스택의 2-범주 St(𝒞)와 동치이며, 이는 스택이 국소적 약한 동치에서의 전처리의 유니버설 국소화임을 증명한다.
• 이 동일한 구성은 위상적, 미분가능하고 대수기하학적 스택에 적용되며, 관련 스택은 모든 전처리 A에 대해 차트 e를 갖는 경우 국소적 약한 동치 A → Q(A,e)를 제공한다.
• PreSt(𝒞)에 존재하는 이원군의 구조는 경로 물체와 인수화 보조정리의 존재를 보장하며, 이는 이 설정에서 일반화된 유니버설 번들의 구성 가능성을 보장한다.