[논문 리뷰] Bifurcations of multi-vortex configurations in rotating Bose--Einstein condensates

Carlos García-Azpeitia, Dmitry E. Pelinovsky|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 05.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조화 퍼텐셜이 있는 회전하는 보즈-아인슈타인 응축체에서 고려되는 거시적 파동함수를 기술하는 그로스-피타에프스키 방정식에 의해 지배되는 다중 비틀림 구조의 전역 분기 현상을 연구한다. 리아프노프-슐라이프트 축소와 대칭성 분석을 통해, 각도 속도 Ω가 증가함에 따라, 중심 비틀림 수가 $ m_0 $인 반경 대칭 비틀림은 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $개의 분기 현상을 겪으며, 이는 비대칭 비틀림, 비틀림 쌍, 비틀림 다각형을 유도한다. 이들 비틀림의 분포는 헤르미트-구스 함수와 그 영점 집합을 통해 명시적으로 결정된다.

ABSTRACT

We analyze global bifurcations along the family of radially symmetric vortices in the Gross--Pitaevskii equation with a symmetric harmonic potential and a chemical potential $μ$ under the steady rotation with frequency $Ω$. The families are constructed in the small-amplitude limit when the chemical potential $μ$ is close to an eigenvalue of the Schrödinger operator for a quantum harmonic oscillator. We show that for $Ω$ near $0$, the Hessian operator at the radially symmetric vortex of charge $m_{0}\in\mathbb{N}$ has $m_{0}(m_{0}+1)/2$ pairs of negative eigenvalues. When the parameter $Ω$ is increased, $1+m_{0}(m_{0}-1)/2$ global bifurcations happen. Each bifurcation results in the disappearance of a pair of negative eigenvalues in the Hessian operator at the radially symmetric vortex. The distributions of vortices in the bifurcating families are analyzed by using symmetries of the Gross--Pitaevskii equation and the zeros of Hermite--Gauss eigenfunctions. The vortex configurations that can be found in the bifurcating families are the asymmetric vortex $(m_0 = 1)$, the asymmetric vortex pair $(m_0 = 2)$, and the vortex polygons $(m_0 \geq 2)$.

연구 동기 및 목표

• 반경 대칭 상태를 초월한 다중 비틀림 구성의 구조 전이를 이해하는 것.
• 각도 속도 Ω가 증가함에 따라 비틀림의 수와 배열이 어떻게 변화하는지, 특히 임계 분기점 근처에서의 변화를 규명하는 것.
• 대칭성과 고유함수의 영점 구조를 이용하여 유도된 비틀림 구성—비대칭 비틀림, 비틀림 쌍, 다각형 등을 분류하는 것.
• 헤시안 연산자의 음의 고유값 개수와 시스템 내 분기 수 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• 소폭 분기 이론을 통해 반경 대칭 상태에서 유도된 비틀림 해의 2차 분지의 체계적 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 고유한 대칭성과 조화 퍼텐셜을 가진 회전 기준에서의 그로스-피타에프스키 방정식의 소폭 해를 분석하기 위해 리아프노프-슐라이프트 축소를 적용한다.
• 시간에 독립적인 GP 방정식을 양자 조화 진동자 고유값 근처에서 화학적 포텐셜 μ에 의해 매개되는 정적 형태로 축소하기 위해 변수 분리 기법을 사용한다.
• 중심 비틀림 수가 $ m_0 $인 반경 대칭 비틀림에서 헤시안 연산자를 분석하여, $ \theta = 0 $에서 $ m_0(m_0 + 1)/2 $개의 음의 고유값 쌍이 있음을 보여준다.
• Ω가 증가함에 따라 음의 고유값 쌍이 사라지는 것을 추적하며, 고유값 교차로 인해 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $개의 분기 현상이 발생함을 밝힌다.
• 대칭성 축소를 적용하고 헤르미트-구스 고유함수의 영점 집합을 연구하여 분기하는 분지에서의 비틀림 구성 예측.
• 작은 매개변수 $ a $와 $ b $에 대한 섭동 전개를 사용하여 절단된 해를 계산하고, 반경 함수의 근 분석을 통해 비틀림 위치를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각도 속도 Ω가 증가함에 따라 반경 대칭 비틀림의 가족에서 몇 개의 전역 분기 현상이 발생하는가?
• RQ2 이 분기 현상에서 어떤 종류의 비틀림 구성—비대칭 비틀림, 비틀림 쌍, 다각형 등—이 유도되는가?
• RQ3 그로스-피타에프스키 방정식의 대칭성과 헤르미트-구스 고유함수의 구조가 분기하는 분지에서 비틀림의 공간 분포를 어떻게 결정하는가?
• RQ4 헤시안 연산자의 음의 고유값 개수가 분기 발생 예측에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비틀림 위치와 비틀림 수는 매개변수 $ m_0 $, $ \theta $, 그리고 소폭 전개 계수에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 중심 비틀림 수가 $ m_0 $인 반경 대칭 비틀림에서, 헤시안 연산자는 $ \theta = 0 $일 때 $ m_0(m_0 + 1)/2 $개의 음의 고유값 쌍을 가지며, 이는 분기 현상을 유도하는 불안정성을 나타낸다.
• θ가 증가함에 따라 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $개의 전역 분기가 발생하며, 각각 하나의 음의 고유값 쌍이 사라지는 것에 해당한다.
• 분기하는 해는 $ m_0 = 1 $일 때 비대칭 비틀림, $ m_0 = 2 $일 때 비대칭 비틀림 쌍, $ m_0 \neq 1,2 $일 때는 비틀림 다각형을 포함한다. 이들 비틀림은 반지름 $ r_0 = \big( \frac{b}{a} C_{m,m_0} (|m - 2m_0| + 1) \big)^{1/(m_0 - |m - 2m_0|)} $의 원 위에 위치한 전하 1의 비틀림으로 구성된다.
• 특히 $ m = 2m_0 $일 경우, 중심 비틀림이 없는 $ m_0 $개의 비틀림 다각형이 형성되며, 이는 $ m_0 = 3 $일 때 정삼각형, $ m_0 = 6 $일 때 정육각형이 된다.
• 만약 $ m \neq 2m_0 $이면, 파동함수의 중심 영점이 전하 $ d = 2m_0 - m $인 비틀림으로 분리되며, 이 분리가 일어나기 위해서는 $ |d| $ 가 $ m - m_0 $로 나누어떨어져야 한다.
• 비대칭 비틀림($ m_0 = 1 $)의 분기점은 $ \theta_{2,0} = 2 + \theta(1) $에서 발생하며, 비틀림 쌍($ m_0 = 2 $)의 분기점은 $ \theta_{3,0} = 2 + \theta(1) $에서 발생한다. 이는 일반 공식 $ \theta_{m_0+1,0} = 2 + \theta(1) $와 일치한다.