[논문 리뷰] Big mapping class groups with hyperbolic actions: classification and applications

Camille Horbez, Yulan Qing외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무한형 표면의 큰 매핑 클래스 군이 히퍼볼릭 공간 위에 연속적이고 비원소적인 등거리 작용을 갖는 조건을 분류하며, 표면에 유한형 비이동 가능 부분표면이 포함되어 있을 때에만 그러한 작용이 존재함을 증명한다. 구성은 이러한 부분표면의 모든 매핑 클래스 군에 의한 이행에 대한 곡선 그래프의 준수나무를 사용하며, 이는 유계 코hom올로지와 SQ-유니버설리티에 응용된다.

ABSTRACT

We address the question of determining which mapping class groups of infinite-type surfaces admit nonelementary continuous actions on hyperbolic spaces. More precisely, let $\\Sigma$ be a connected, orientable surface of infinite type with tame endspace whose mapping class group is generated by a coarsely bounded subset. We prove that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ admits a continuous nonelementary action on a hyperbolic space if and only if $\\Sigma$ contains a finite-type subsurface which intersects all its homeomorphic translates. When $\\Sigma$ contains such a nondisplaceable subsurface $K$ of finite type, the hyperbolic space we build is constructed from the curve graphs of $K$ and its homeomorphic translates via a construction of Bestvina, Bromberg and Fujiwara. Our construction has several applications: first, the second bounded cohomology of $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains an embedded $\\ell^1$; second, using work of Dahmani, Guirardel and Osin, we deduce that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains nontrivial normal free subgroups (while it does not if $\\Sigma$ has no nondisplaceable subsurface of finite type), has uncountably many quotients and is SQ-universal.

연구 동기 및 목표

• 무한형 표면의 매핑 클래스 군이 히퍼볼릭 공간 위에 연속적이고 비원소적인 등거리 작용을 갖는 데 필요한 위상적 조건을 규명하는 것.
• 표면에 비이동 가능한 유한형 부분표면이 존재하는지 여부를 기반으로 이러한 작용을 분류하는 것.
• 구축된 히퍼볼릭 작용을 통해 대수적 결과—예를 들어 SQ-유니버설리티와 정규 자유 부분군의 존재—를 도출하는 것.
• 베스트비나-브롬버그-후지와라의 준수나무 공간 구성 방법을 사용하여, 유한형 매핑 클래스 군의 기법(예: 곡선 그래프, WWPD 성질)을 무한형 설정으로 확장하는 것.
• 비이동 가능한 부분표면이 없을 경우, 흐름성과 CB-생성 조건을 가정할 때 어떤 히퍼볼릭 공간에도 연속적이고 비원소적인 작용이 존재하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 고정된 유한형 비이동 가능한 부분표면 $K$ 의 모든 $\mathrm{Map}(\Sigma)$-이행에 대한 곡선 그래프를 조각으로 하는 준수나무 구조를 가진 히퍼볼릭 공간 $\mathbb{X}$ 를 구성한다.
• 베스트비나-브롬버그-후지와라의 구성 방법을 적용하여 $\mathbb{X}$ 가 $\delta$-히퍼볼릭이 되고 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 의 연속적 등거리 작용을 수반하도록 보장한다.
• 특정 $K$ 를 보존하고 $K$ 에서 페시스트-아노소프 작용을 하는 원소들이 $\mathbb{X}$ 에 대한 작용에서 WWPD 성질을 만족함을 증명한다. 이를 위해 그로모프 경계에서의 이산 궤도 조건을 사용한다.
• WWPD 원소의 존재를 이용하여 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 의 두 번째 유계 코호몰로지가 임bed된 $\ell^1$-공간을 포함함을 도출한다.
• 다만-구이아르델-오신의 결과를 활용하여 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 가 SQ-유니버설리티이며, $K$ 가 존재할 경우 비가산 많은 몫을 가짐을 유도한다.
• 성질과 끝점 유형의 불변량을 사용하여, $\mathrm{Map}^0(\Sigma) \to \mathbb{Z}^n$ 에 대한 전사 준동형사상 $\Phi$ 와 단면을 구성하여 하드보디 군의 폐쇄를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한형 표면 $\Sigma$ 에 대해 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 가 히퍼볼릭 공간 위에 연속적이고 비원소적인 등거리 작용을 갖는 데 필요한 위상적 조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 히퍼볼릭 작용으로부터 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 의 어떤 대수적 성질을 도출할 수 있는가?
• RQ3 표면에 비이동 가능한 유한형 부분표면 $K$ 가 존재하는지 여부는 그러한 작용의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 무한형 설정에서 WWPD 성질을 달성할 수 있으며, 그것이 유계 코호몰로지에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 그러한 작용이 존재할 경우 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 에 대해 어떤 구조적 결과—예를 들어 SQ-유니버설리티 또는 정규 자유 부분군의 존재—가 유도되는가?

주요 결과

• 매핑 클래스 군 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 는 유한형 부분표면이 모든 그의 위상동형 이행과 교차하는 조건이 성립할 때에만 연속적이고 비원소적인 등거리 작용을 히퍼볼릭 공간 위에 갖는다.
• 비이동 가능한 부분표면 $K$ 가 존재할 경우, 구축된 히퍼볼릭 공간 $\mathbb{X}$ 는 $K$ 의 모든 $\mathrm{Map}(\Sigma)$-이행에 대한 곡선 그래프의 준수나무이다.
• 모든 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 원소 중에서 $K$ 의 동치류를 보존하고 $K$ 에서 페시스트-아노소프 작용을 하는 원소는 $\mathbb{X}$ 에 대한 작용에서 WWPD 성질을 갖는다.
• WWPD 작용의 결과로 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 의 두 번째 유계 코호몰로지가 임베딩된 $\ell^1$-공간을 포함한다.
• 만약 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 가 CB-생성되고 끝공간이 흐름성이라면, 비이동 가능한 유한형 부분표면이 없을 경우 어떤 히퍼볼릭 공간에도 연속적이고 비원소적인 작용이 존재하지 않는다.
• 비이동 가능한 부분표면이 존재할 경우, $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 는 SQ-유니버설리티이며, 비가산 많은 몫을 가지며, 비자명한 정규 자유 부분군을 포함한다.