[논문 리뷰] Bivariate Discrete Exponentiated Weibull Distribution: Properties and Applications

Mahmoud El-Morshedy, Alamgir Khalil|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 11.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유연한 위험률 형태를 가진 종속된 카운트 데이터를 모델링하기 위해 새로운 다섯 파라미터를 가진 이元 이산 지수 Weibull(BDEW) 분포를 제안한다. 이 분포는 주요 통계적 성질을 유도하고 최대우도 추정법을 통해 모수를 추정하며, 두 가지 실제 데이터 응용 사례를 통해 BDEW가 AIC, BIC, CAIC 및 -2log-likelihood 값이 낮아 다른 이원 이산 모델보다 우수한 적합도를 보임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, a new bivariate discrete distribution is introduced which called bivariate discrete exponentiated Weibull (BDEW) distribution. Several of its mathematical statistical properties are derived such as the joint cumulative distribution function, the joint joint hazard rate function, probability mass function, joint moment generating function, mathematical expectation and reliability function for stress-strength model. Further, the parameters of the BDEW distribution are estimated by the maximum likelihood method. Two real data sets are analyzed, and it was found that the BDEW distribution provides better fit than other discrete distributions.

연구 동기 및 목표

• 종속된 카운트 데이터를 모델링하기 위해 다양한 위험률 행동을 가진 새로운 이원 이산 분포를 개발하기 위해.
• 일변량 지수 Weibull 분포를 이원 프레임워크로 확장하여 쌍으로 이루어진 이산 사건의 모델링을 향상시키기 위해.
• 응력-강도 모델을 위한 상관관계 함수, 누적분포함수(CDF), 확률질량함수(PMF), 모멘트 생성 함수 및 신뢰성 함수를 포함한 종합적인 통계적 성질을 도출하기 위해.
• 실제 적용을 위해 최대우도 추정법(MLE)을 사용하여 모델의 모수를 추정하기 위해.
• 실제 데이터 세트를 사용하여 기존의 이원 이산 모델들과 비교하여 BDEW 분포의 성능을 평가하기 위해.

제안 방법

• 연속 지수 Weibull 분포를 바닥 함수를 통해 이산화하는 방식으로 BDEW 분포를 정의한다: $ X = [Y] $, 여기서 $ Y \sim EW(\alpha, \lambda, \beta) $ 이고 $ \lambda = -\ln(p) $ 이다.
• 공동 확률질량함수(PMF)를 $ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2) = F(x_1, x_2) - F(x_1-1, x_2) - F(x_1, x_2-1) + F(x_1-1, x_2-1) $ 로 유도하며, $ F(x_1, x_2) $ 는 공동 CDF를 의미한다.
• 의존성과 모멘트를 특성화하기 위해 공동 모멘트 생성 함수 및 공동 확률생성함수(PGF)를 확보한다.
• 변량 및 조건부 분포를 유도하며, $ P(X_1 = x_1 | X_2 = x_2) $, $ F_{X_1|X_2}(x_1 | x_2) $, 그리고 조건부 기대값 $ E(X_1 | X_2 = x_2) $ 를 포함한다.
• 로그우도 함수에서 유도된 비선형 방정식 5개의 연립방정식을 해결하여 모수 $ \alpha, p, \beta_1, \beta_2, \beta_3 $ 를 최대우도 추정법으로 추정한다.
• 정보 기준(정보기준, AIC, BIC, CAIC, HQIC)과 최대화된 로그우도(-L)를 사용하여 경쟁 분포 간의 모델 적합도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 Weibull 분포의 유연성을 유지하면서 종속된 카운트 데이터를 모델링할 수 있는 이원 이산 분포를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 BDEW 분포의 주요 통계적 성질—예를 들어 공동 PMF, CDF, MGF 및 신뢰성 함수—는 무엇인가?
• RQ3 기존의 모델들인 이원 기하분포, 이원 포아송, 독립 이원 포아송과 비교하여 BDEW 분포는 실제 이원 카운트 데이터에 얼마나 잘 적합하는가?
• RQ4 BDEW 분포는 양변에 다양한 위험률 행동을 보이는 데이터를 효과적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ5 실제 데이터를 사용한 실용적 응용에서 BDEW 모델의 최대우도 추정법 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 이탈리아 축구 경기 스코어 데이터에 대해 BDEW 분포는 경쟁 모델들(BG, IBP, BP, BP min, BDGE, BDERe)보다 더 낮은 -2log-likelihood(158.42), AIC(168.42), CAIC(170.12), BIC(172.15), HQIC(169.10) 값을 보이며 더 우수한 적합도를 제공한다.
• 점프 경기 스코어에 대해 BDEW 모델은 모든 테스트된 분포 중에서 가장 낮은 -2log-likelihood(128.31), AIC(138.31), CAIC(140.01), BIC(142.04), HQIC(139.02) 값을 기록하였다.
• BDEW 분포는 복잡한 의존성 구조와 다양한 위험률 행동을 잘 포착하며, 이는 그에 따른 매개변수화의 유연성에 의해 입증되었다.
• BDEW 모수의 최대우도 추정량은 비선형 연립방정식의 수치적 해법을 통해 유도되었으며 실현 가능함을 입증하였다.
• 두 가지 실제 데이터 응용 사례에서 BDEW 모델은 이원 기하분포, 이원 포아송 및 독립 이원 포아송 모델을 모두 초월하여 더 뛰어난 적합도를 보였다.
• BDEW 분포의 공동 PMF 및 CDF는 연속 지수 Weibull 분포의 바닥 함수 변환을 통해 유도되었으며, 이는 확률 및 생존 함수의 정확한 계산을 가능하게 하였다.