[논문 리뷰] Black hole as topological insulator (I): the BTZ black hole case

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 28.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 Anti-de Sitter 공간에서의 BTZ 블랙홀을 포함한 블랙홀을 위상적 절연체로 이해할 수 있다고 제안한다. 두 가지 핵심 유사성을 보여주는데, 하나는 사건의 지평선이 도체 막과 유사하게 행동한다는 것이고, 다른 하나는 반대 방향의 편극성을 가진 질량이 없는 스칼라 모드를 지닌다는 것이다 — 이는 2차원 위상적 절연체의 특징이다. 전자기장과의 결합은 경계에서의 도전성과 일치하며, 중력과 위상적 질서 사이에 깊은 연결 고리가 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Black holes are extraordinary massive objects which can be described classically by general relativity, and topological insulators are new orders of matter that could be use to built a topological quantum computer. They seem to be different objects, but in this paper, we claim that the black hole can be considered as kind of topological insulator. For BTZ black hole in three dimensional $AdS_3$ spacetime we give two evidences to support this claim: the first evidence comes from the black hole "membrane paradigm", which says that the horizon of black hole behaves like an electrical conductor. On the other hand, the vacuum can be considered as an insulator. The second evidence comes from the fact that the horizon of BTZ black hole can support two chiral massless scalar field with opposite chirality. Those are two key properties of 2D topological insulator. We also consider the coupling with the electromagnetic field to show that the boundary modes can conduct the electricity. For higher dimensional black hole the first evidence is still valid. So we conjecture that the higher dimensional black hole can also be considered as higher dimensional topological insulators. This conjecture will have far-reaching influences on our understanding of quantum black hole and the nature of gravity.

연구 동기 및 목표

• 블랙홀 사건의 지평선과 위상적 절연체 사이의 개념적·물리적 유사성을 확립함. 특히 2+1 차원 AdS 중력에서의 유사성을 목표로 한다.
• BTZ 블랙홀의 사건의 지평선이 2차원 위상적 절연체의 특징인 편극 경계 모드와 전기 전도도를 나타내는지 조사함.
• 이 유사성이 양자 중력과 위상적 질서에서 공간시계가 어떻게 기원하는지에 대한 함의를 탐색함.
• 막대 모델과 BF 이론의 구조가 타당한 바탕으로, 이 유사성을 고차원 블랙홀로 확장함.

제안 방법

• 중력의 일阶 포지션 형식을 사용하여 $AdS_3$ 시공간 내 BTZ 블랙홀을 분석함. 아인슈타인-힐베르트 작용을 두 개의 $SO(2,1)$ 초전도체 작용의 합으로 재기반함.
• 막대 모델을 적용하여 사건의 지평선이 전도도 $\sigma = 1/g^2$를 가지며 금속 도체처럼 행동함을 보이며, 부피 진공은 절연체로 작용함을 확인함.
• 초전도체 이론의 경계 감소를 통해 사건의 지평선 상에서 반대 방향의 편극성을 가진 질량이 없는 스칼라 장이 존재함을 유도함. 이는 편극 WZNW 모델로의 감소에 기반함.
• 전류 상호작용 항을 도입하여 전자기장과의 결합을 시도함. 이로써 경계 모드가 전류를 지닐 수 있으며, 전기를 전도함을 보임.
• 게이지 불변의 장 재정의와 경계항 분석을 통해 효과적인 경계 작용을 분리함. 이 과정에서 전하 밀도 장 $\rho$를 식별함. 이는 양자 홀 효과 시스템과 유사함.
• 일반 상대성이론이 제약 조건이 있는 BF 이론로 기술될 수 있음을 고려하여, 막대 모델과 함께 고차원 블랙홀로의 논의를 확장함. 이는 고차원 위상적 절연체와의 더 넓은 유사성을 시사함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BTZ 블랙홀의 사건의 지평선이 전자기적 및 장이론적 성질에 기반해 2차원 위상적 절연체로 해석될 수 있는가?
• RQ2 BTZ 블랙홀의 사건의 지평선 모드가 위상적 절연체 모델에서 요구하는 바와 같이 반대 방향의 편극성과 질량이 없는 경계 상태를 나타내는가?
• RQ3 사건의 지평선의 자유도가 전자기장과 결합할 경우 측정 가능한 전기 전도도를 나타내는가? 이는 도체 유사 행동을 확인하는가?
• RQ4 초전도체 작용의 형태가 없는 상황에서도, 블랙홀의 사건의 지평선과 위상적 절연체 사이의 유사성을 고차원 블랙홀로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이 유사성은 중력의 기원과 양자 블랙홀의 본질에 대해 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• BTZ 블랙홀의 사건의 지평선은 유한한 전기 전도도 $\sigma = 1/g^2$를 나타내며, 막대 모델과 일치하고 2차원 위상적 절연체의 표면 전도도와 유사함.
• 사건의 지평선은 반대 방향의 편극성을 가진 질량이 없는 스칼라 장 두 개를 지닌다. 이는 2차원 위상적 절연체의 결정적 특징이며, 초전도체 작용의 경계 감소로부터 도출됨.
• 전자기장과의 결합 이후 효과적인 경계 작용은 $S'_{j} = \frac{1}{2}\int_{r=r_{+}} d^2x (a_v L\rho - a_\varphi \rho)$로 표현되며, 이는 경계 모드가 전류를 지닐 수 있음을 확인함.
• 장 $\rho(\tilde{u}) = \partial\Psi_1 / \partial\tilde{u}$ 는 전하 밀도로 식별되며, 양자 홀 효과의 경계 전하 밀도와 유사함.
• 막대 모델이 고차원에서도 유효함을 확인함으로써, 고차원 블랙홀 역시 고차원 위상적 절연체로 간주될 수 있음이 시사됨.
• 위상적 절연체에 대해 효과적인 BF 이론과 중력의 제약 조건이 있는 BF 이론의 구조적 유사성은, 중력가 위상적 질서에서 기인한 상위 위상적 상태일 수 있음을 시사하며, 이는 부피 내 국소 자유도가 없을 수 있음을 암시함.