[논문 리뷰] Both Toffoli and Controlled-NOT need little help to do universal quantum computation

Yaoyun Shi|ArXiv.org|2002. 05. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 8인용 수 90

한 줄 요약

이 논문은 Toffoli 게이트와 계산 기저를 유지하지 않는 단일 큐비트 실수 게이트가 조합될 경우, 해당 게이트가 하다마드 게이트 또는 그 변형과 동치가 아닐 경우 양자 계산에 대해 보편적임을 증명한다. 이 결과는 Toffoli 또는 CNOT와 함께 사용할 때, 보편성을 달성하는 데 필요한 최소 자원이 단지 계산 기저를 변화시키는 단일 큐비트 실수 게이트임을 보여주며, 보편적 양자 계산에 필요한 최소 자원에 관한 근본적인 질문을 해결한다.

ABSTRACT

What additional gates are needed for a set of classical universal gates to do universal quantum computation? We answer this question by proving that any single-qubit real gate suffices, except those that preserve the computational basis. The result of Gottesman and Knill[quant-ph/9807006] implies that any quantum circuit involving only the Controlled-NOT and Hadamard gates can be efficiently simulated by a classical circuit. In contrast, we prove that Controlled-NOT plus any single-qubit real gate that does not preserve the computational basis and is not Hadamard (or its alike) are universal for quantum computing. Previously only a ``generic'' gate, namely a rotation by an angle incommensurate with pi, is known to be sufficient in both problems, if only one single-qubit gate is added.

연구 동기 및 목표

• Toffoli 또는 CNOT와 같이 고전적으로 보편적인 게이트에서 시작할 때, 보편적 양자 계산을 달성하기 위해 추가로 필요한 최소한의 양자 게이트 집합을 규명하는 것.
• Toffoli 또는 CNOT와 함께 보편성을 달성하는 데 충분한 단일 큐비트 실수 게이트, 특히 계산 기저를 유지하지 않는 게이트를 특정하는 것.
• 일반적인 회전(무리수 각도) 이외의 게이트가 보편성을 달성하는 데 유일한 형태인지에 대한 열린 질문을 해결하기 위해, 계산 기저를 변화시키는 임의의 실수 게이트가 충분함을 보여주는 것.
• Kitaev-Solovay 정리에 의존하지 않고 직접적이고 구성적인 보편성 증명을 제공하여, 다항수준의 게이트 수를 갖는 더 단순한 근사 회로를 제공하는 것.

제안 방법

• 계산 기저를 유지하지 않는 단일 큐비트 실수 게이트(즉, 기저를 변화시키는)가 Toffoli 게이트와 조합될 경우 보편성이 달성됨을 증명한다.
• Kitaev-Solovay 정리에 의존하지 않고, Toffoli와 기저를 변화시키는 단일 큐비트 게이트만을 사용하여 임의의 실수 단일 큐비트 게이트를 근사하는 구성적 회로 합성 방법을 사용한다.
• 보조 큐비트와 조건부 연산을 활용해 제어된-위상-반전 근사를 Grover 유사 반복을 통해 실현하고, 제어된-Z 연산을 고정밀도로 시뮬레이션한다.
• 보조 큐비트와 조건부 연산을 사용해 단일 큐비트 게이트의 조건부 적용을 위한 서브회로를 도입하여, 비클리포드 게이트의 정밀한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 다중 근사에서의 오차 전파를 분석하고, 원하는 정밀도 기반으로 보조 큐비트 수와 회로 크기의 범위를 설정한다.
• 총 오차가 O(γ)로 스케일링되며, 여기서 γ = cos²k₁θ이며, γ ≈ ε로 설정함으로써 정밀도 ε를 확보하고 자원 스케일링을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Toffoli 게이트와 함께 추가로 사용될 경우 보편적 양자 계산을 가능하게 하는 단일 큐비트 실수 게이트는 무엇인가?
• RQ2 CNOT 기반 회로에서 하다마드 게이트를 대체할 때, CNOT와 함께 보편성을 달성하지 못하는 기저를 변화시키는 단일 큐비트 실수 게이트 중에서 하다마드 게이트가 유일한 예외인가?
• RQ3 일반적인 게이트(예: 유리수 각도의 회전)를 사용하여도 보편성이 달성될 수 있는가, 아니면 오직 무리수 각도의 회전만이 가능한가?
• RQ4 Kitaev-Solovay 정리에 기반하지 않는 직접적인 구성 방법을 통해 다항수준의 게이트 수를 갖는 효율적인 보편 근사가 가능할 수 있는가?
• RQ5 Toffoli와 기저를 변화시키는 게이트를 사용하여 임의의 실수 단일 큐비트 게이트를 근사하기 위해 필요한 보조 큐비트 수와 회로 크기의 정확한 스케일링은 어떻게 되는가?

주요 결과

• Toffoli 게이트와 계산 기저를 유지하지 않는 임의의 단일 큐비트 실수 게이트는, 그 게이트가 하다마드 게이트 또는 그 변형과 동치가 아닐 경우 양자 계산에 대해 보편적이다.
• CNOT와 임의의 단일 큐비트 실수 게이트 T가 보편적일 조건은 T²가 계산 기저를 유지하지 않는 것이다. 이러한 게이트가 CNOT 기반 회로에서 보편성을 달성하지 못하는 유일한 예외이다.
• 정밀도 ε을 달성하기 위해 O(δθ · ε⁻¹ · log ε⁻¹)개의 게이트와 O(δθ · log ε⁻¹)개의 보조 큐비트를 사용하는 직접적 구성 방법을 제공하며, 여기서 δθ는 게이트가 계산 기저를 유지하지 않는 정도를 측정한다.
• Kitaev-Solovay 정리에 의존하지 않고, 반복적인 Grover 유사 증폭과 공유 보조 큐비트를 사용한 제어된 위상 반전 시뮬레이션을 통해 구성한다.
• 근사의 총 오차는 O(γ)로 제한되며, 여기서 γ = cos²k₁θ이며, γ ≈ ε로 설정함으로써 원하는 정밀도를 확보하고 자원 스케일링을 제어할 수 있다.
• 결과적으로, 완전한 기저를 사용할 경우 임의의 실수 직교 게이트는 ε⁻¹에 대해 다항로그 스케일링을 갖는 게이트 수로 정밀도 ε까지 근사 가능하지만, 본 연구에서 제시된 직접적 구성 방법은 ε⁻¹에 대해 다항수준의 스케일링을 보인다.