[논문 리뷰] Local Hamiltonians in Quantum Computation

Daniel Nagaj|ArXiv.org|2008. 08. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 109인용 수 16

한 줄 요약

이 학위논문은 양자 계산에서 국소 해밀토니안의 성질을 조사하며, 애디아바틱 양자 컴퓨팅과 양자 복잡도 이론 간의 연결 고리를 확립한다. 무한한 트리 시스템을 행렬 곱 상태(MPS)와 허수 시간 진동을 활용해 시뮬레이션하는 새로운 방법을 제안하고, 새로운 양자 만족성 문제에 대해 QMA-완전성을 증명하며, 단일 국소 시간 불변 해밀토니안을 통해 시간 진동만으로도 보편 양자 계산을 가능하게 하는 해밀토니안 양자 세포자동우를 구축한다.

ABSTRACT

In this thesis, I investigate aspects of local Hamiltonians in quantum computing. First, I focus on the Adiabatic Quantum Computing model, based on evolution with a time dependent Hamiltonian. I show that to succeed using AQC, the Hamiltonian involved must have local structure, which leads to a result about eigenvalue gaps from information theory. I also improve results about simulating quantum circuits with AQC. Second, I look at classically simulating time evolution with local Hamiltonians and finding their ground state properties. I give a numerical method for finding the ground state of translationally invariant Hamiltonians on an infinite tree. This method is based on imaginary time evolution within the Matrix Product State ansatz, and uses a new method for bringing the state back to the ansatz after each imaginary time step. I then use it to investigate the phase transition in the transverse field Ising model on the Bethe lattice. Third, I focus on locally constrained quantum problems Local Hamiltonian and Quantum Satisfiability and prove several new results about their complexity. Finally, I define a Hamiltonian Quantum Cellular Automaton, a continuous-time model of computation which doesn't require control during the computation process, only preparation of product initial states. I construct two of these, showing that time evolution with a simple, local, translationally invariant and time-independent Hamiltonian can be used to simulate quantum circuits.

연구 동기 및 목표

• 애디아바틱 양자 컴퓨팅에서 국소 해밀토니안의 역할과 고유값 간격 및 계산 보편성에 대한 영향을 이해하는 것.
• 무한 트리 위의 전이 대칭 해밀토니안의 기본 상태를 찾기 위한 수치적 방법을 개발하는 것, 이를 위해 행렬 곱 상태(MPS)와 허수 시간 진동을 활용하는 것.
• 특히 양자 k-SAT와 국소 해밀토니안 문제와 같은 국소 제약 조건이 붙은 양자 문제의 복잡도를 규명하고, 새로운 QMA-완전성 결과를 증명하는 것.
• 외부 제어 없이 초기 상태 준비와 시간 진동만으로도 보편 양자 계산을 수행할 수 있는 해밀토니안 양자 세포자동우(HQCA)를 제안하고 구축하는 것.

제안 방법

• 무한 트리 위의 전이 대칭 해밀토니안의 기본 상태 성질을 시뮬레이션하기 위해, 행렬 곱 상태(MPS) 가설 내에서 허수 시간 진동을 사용한다.
• 각 허수 시간 단계 이후 상태를 다시 MPS 다각형에 투영하는 새로운 절차를 도입하여 가설의 구조를 유지한다.
• 이 방법을 활용해 베티 격자 위의 횡방향 자기장 이징 모형에서의 양자 상전이를 연구하며, 상관 길이와 안정성을 분석한다.
• 양자 회로를 시뮬레이션하기 위해 큐트리트 기반 시계 구성과 3-국소 항들을 사용해 QMA-완전한 3-국소 해밀토니안을 구성한다.
• 전이 대칭성, 국소성, 시간 불변성을 갖는 국소 해밀토니안을 사용해 셀 크기가 d=10과 d=20인 두 종류의 해밀토니안 양자 세포자동우(HQCA)를 설계한다.
• 이러한 해밀토니안 하에서의 시간 진동이 외부 제어 없이도 보편 양자 회로를 시뮬레이션할 수 있음을 보여주며, 동적 제어 없이도 계산 보편성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애디아바틱 양자 컴퓨팅이 국소 해밀토니안만으로 보편적으로 시뮬레이션 가능한가? 이 경우 고유값 간격에 어떤 제약 조건이 따르는가?
• RQ2 어떻게 행렬 곱 상태(MPS)를 효과적으로 활용해 전이 대칭 해밀토니안의 무한 트리 위 기본 상태를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 양자 k-SAT 문제의 계산 복잡도는 무엇이며, 오직 3-국소 항들만으로도 새로운 QMA-완전성 구성이 가능할 수 있는가?
• RQ4 단일 국소 시간 불변 전이 대칭 해밀토니안 하에서의 시간 진동만으로도 보편 양자 계산을 달성할 수 있는가?
• RQ5 해밀토니안 양자 세포자동우가 외부 제어 없이도 양자 회로를 시뮬레이션할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 애디아바틱 양자 컴퓨팅 모델은 국소 해밀토니안을 필요로 하며, 이 구조에서 고유값 간격에 대한 정보 이론적 한계가 유도된다.
• MPS와 허수 시간 진동을 활용한 새로운 수치적 방법이 무한 트리 시스템에 적용되어, 베티 격자 위의 횡방향 자기장 이징 모형에서의 상전이를 정확히 연구할 수 있게 되었다.
• 이 방법은 베티 격자 위의 횡방향 자기장 이징 모형에서 상관 길이가 임계점에서 발산함을 드러내며, 이는 제2종 상전이임을 시사한다.
• 이전의 4-국소 구성보다 개선된, 오직 3-국소 항들만을 사용해 큐비트 기반으로 QMA-완전한 3-국소 해밀토니안을 구성하였다.
• 큐트리트 시계 구성과 함께 사용된 QMA-완전한 3-국소 해밀토니안은, 제약 조건이 있는 항들만으로도 양자 k-SAT가 여전히 보편적일 수 있음을 보여준다.
• 셀 크기가 d=10과 d=20인 두 개의 해밀토니안 양자 세포자동우를 구축하였으며, 이는 단일 국소 시간 불변 전이 대칭 해밀토니안 하에서의 시간 진동만으로도 보편 양자 계산이 가능함을 보여준다.