[논문 리뷰] Brownian motion and anomalous diffusion revisited via a fractional Langevin equation

Francesco Mainardi, Antonio Mura외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 20.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 75인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 분수 차수 랑주방정식을 사용하여 유체역학적 기억 효과—특히 바셋 역사력과 부가 질량—를 포함한 브라운 운동을 재검토한다. 고전적 랑주방정식을 일반화함으로써 속도 및 난류력 상관 함수의 해석적 표현을 유도하고, 평균 제곱 변위가 선형을 유지함(정상 확산을 나타냄)에도 불구하고 속도 상관이 $ t^{-3/2} $로 감쇠됨을 보여주며, 이는 비마르코프 동역학과 확산 행동의 지연된 시작을 반영한다.

ABSTRACT

In this paper we revisit the Brownian motion on the basis of {the fractional Langevin equation which turns out to be a particular case of the generalized Langevin equation introduced by Kubo in 1966. The importance of our approach is to model the Brownian motion more realistically than the usual one based on the classical Langevin equation, in that it takes into account also the retarding effects due to hydrodynamic back-flow, i.e. the added mass and the Basset memory drag. We provide the analytical expressions of the correlation functions (both for the random force and the particle velocity) and of the mean squared particle displacement. The random force has been shown to be represented by a superposition of the usual white noise with a "fractional" noise. The velocity correlation function is no longer expressed by a simple exponential but exhibits a slower decay, proportional to t^{-3/2} for long times, which indeed is more realistic. Finally, the mean squared displacement is shown to maintain, for sufficiently long times, the linear behaviour which is typical of normal diffusion, with the same diffusion coefficient of the classical case. However, the Basset history force induces a retarding effect in the establishing of the linear behaviour, which in some cases could appear as a manifestation of anomalous diffusion to be correctly interpreted in experimental measurements.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동을 보다 현실적으로 모델링하기 위해 바셋 역사력과 부가 질량 등의 유체역학적 기억 효과를 포함시키기.
• 주파수 의존성 마찰을 고려한 분수 차수 일반화 랑주방정식으로 고전적 랑주방정식을 확장하기.
• 분수 미적분학을 사용하여 속도 및 난류력 상관 함수의 해석적 표현을 도출하기.
• 평균 제곱 변위를 검토하고, 지연 효과로 인해 비정상 확산이 잘못 해석될 수 있는 조건을 규명하기.
• 분수 동역학을 통해 시뮬레이션에서 관측된 $ t^{-3/2} $ 속도 자기상관과 이론적 모델링을 일치시키기.

제안 방법

• 유체역학 이론에서 유도된 기억 커널을 통해 바셋 힘과 부가 질량을 포함한 분수 일반화 랑주방정식을 수립한다.
• 난류력과 기억 커널 간의 일관성을 확보하기 위해 변동-소산 정리( fluctuation-dissipation theorem )를 적용한다.
• 라플라스 변환과 분수 미적분학 기법, 특히 미타그레플레르 함수 $ E_{1/2} $를 사용하여 방정식을 해석적으로 해결한다.
• 속도 상관 함수를 미타그레플레르 함수의 초월합으로 표현하여 장기적으로 $ t^{-3/2} $ 감쇠를 도출한다.
• 평균 제곱 변위를 평가하고, 장기적으로 선형 시간 의존성으로 수렴함을 보여 정상 확산과 일치함을 확인한다.
• 부분 분수 분해와 라플라스 역변환을 수행하여 상관 함수의 정확한 시간 도메인 해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바셋 역사력과 부가 질량의 포함이 브라운 운동에서 속도 상관 함수에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 분수 랑주방정식은 분자 동역학 시뮬레이션에서 관측된 $ t^{-3/2} $ 속도 자기상관 감쇠를 재현할 수 있는가?
• RQ3 기억 효과의 존재가 장기적으로 평균 제곱 변위가 선형인 경우에도 일시적인 비정상 확산 행동을 유도하는가?
• RQ4 분수 랑주방정식 프레임워크에서 난류력 상관 함수의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ5 분수 접근법은 비마르코프 동역학을 갖는 유체역학계에서 변동-소산 정리와 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 장기적으로 속도 상관 함수는 $ t^{-3/2} $로 감쇠되며, 이는 시뮬레이션 결과와 일치하고 비마르코프 동역학을 나타낸다.
• 난류력은 백색 잡음과 분수 차수 잡음 성분의 초월합으로 표현되며, 기억 커널의 구조를 반영한다.
• 평균 제곱 변위는 충분히 긴 시간 동안 시간에 대한 선형 의존성을 유지하며, 고전적 경우와 동일한 확산 계수를 갖는 정상 확산을 확인한다.
• 바셋 힘은 지연 효과를 유도하여 선형 평균 제곱 변위의 수립을 지연시키며, 이는 짧은 시간 측정에서 비정상 확산을 유사하게 보일 수 있다.
• 속도 상관 함수의 해는 미타그레플레르 함수 $ E_{1/2} $로 표현되며, 라플라스 역변환을 통해 닫힌 형태의 표현식이 유도된다.
• 해석적 처리를 통해 분수 랑주방정식이 고전 모델을 일관되고 현실적인 일반화로 제공함을 확인하였으며, 분수 미분을 통해 유체역학적 기억 효과를 포함한다.