[논문 리뷰] C*-algebras associated with endomorphisms of groups

Felipe Vieira|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 무한 코어널을 가진 이산 가산군 $G$ 의 단사 내면함수 $\varphi$ 에서 유니버설 C*-대수 $\mathds{U}[\varphi,B]$ 를 구성한다. 이는 이전의 Hirshberg 와 Cuntz-Vershik 의 작업을 일반화한 것이다. 주요 결과는 $G$ 가 아메니타블이고 $\varphi$ 가 순수할 경우 $\mathds{U}[\varphi]$ 가 키르히버그 대수임을 보이며, 따라서 키르히버그의 정리에 의해 분류 가능하고, $K_*$-이론이 $K_*(C^*(G))$ 와 동형임을 보인다. 이는 무한 코어널을 가진 내면함수로의 분류 결과 확장을 제공하며, $\mathds{U}[\varphi]$ 가 $S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ 에 대한 이四十형 C*-대수 $C^*(S)$ 와 동형임을 규명한다.

ABSTRACT

In this work we construct a C*-algebra from an injective endomorphisms of some group G, allowing the endomorphism to have infinite cokernel. We generalize results obtained by I. Hirshberg and also by J. Cuntz and A. Vershik. In good cases we show that the C*-algebra that we study is classifiable by Kirchberg's classification theorem, with K-groups equal to K*(C*(G)).

연구 동기 및 목표

• 내면함수의 코어널이 무한한 경우로 이전의 Hirshberg 와 Cuntz-Vershik 의 작업을 일반화하여 군의 내면함수로부터 C*-대수를 구성하는 것.
• 군 원소에 대한 유니터리, 내면함수에 대한 등장사상, $B$ 에 속한 부분군에 대한 프로젝션을 사용하여 $\mathds{U}[\varphi,B]$ 를 정의함으로써 자연스러운 관계를 확보하는 것. 이는 $\ell^2(G)$ 상의 정규 표현에서 유도된다.
• 아메니타블이고 $\varphi$ 가 순수할 경우 $\mathds{U}[\varphi,B]$ 가 키르히버그 대수임을 확립함으로써, 키르히버그의 정리에 의한 분류가 가능하도록 하는 조건을 설정하는 것.
• 이 조건 하에서 $\mathds{U}[\varphi]$ 가 $S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ 에 대한 전체 이四十형 C*-대수 $C^*(S)$ 와 동형임을 보이며, $K_*(\mathds{U}[\varphi]) \cong K_*(C^*(G))$ 를 증명하는 것.

제안 방법

• $\mathds{U}[\varphi,B]$ 는 군 $G$, 내면함수 $\varphi$, 그리고 $B$ 에 속한 부분군의 자연스러운 작용에서 유도된 유니터리 $\{u_g\}_{g \in G}$, 등장사상 $s$, 그리고 프로젝션 $\{e_{[H]}\}_{H \in B}$ 를 포함하는 유니버설 관계로 정의된다.
• 반직접곱 $S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ 을 사용한 반군 교차곱 표현을 통해, Khoshkam 과 Skandalis 의 6항 정확열을 활용하여 $K$-이론을 계산한다.
• 최소 자동 확장(minimal automorphic dilation)을 적용하여 $\mathds{U}[\varphi,B]$ 를 $\mathbb{Z}$ 에 의한 전체 모서리 군 교차곱과 연결함으로써, Pimsner-Voiculescu 정확열을 사용한 $K$-이론 계산이 가능해진다.
• $\mathds{U}[\varphi]$ 와 $C^*(S)$ 간의 동형은 Li 가 정의한 $C^*(S)$ 의 생성자와 관계가 $\mathds{U}[\varphi]$ 와 일치함을 검증함으로써 확립된다. 이는 $*$-호모모르피즘과 그 역함수를 구성함으로써 이루어진다.
• $K_*(\mathds{U}[\varphi]) \cong K_*(C^*(G))$ 를 증명하기 위해 분할 정확열과 Khoshkam 과 Skandalis 의 6항 정확열을 사용하며, $G$ 의 아메니타블성은 Baum-Connes 추측이 적용됨을 보장한다.
• 논문은 $\varphi$ 의 순수성(purity) 개념을 사용한다. 이는 $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \varphi^n(G) = \{e\}$ 로 정의되며, 이는 $\mathds{U}[\varphi]$ 의 단순성과 순수 무한성의 구조를 보장하는 핵심 조건이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코어널이 무한한 군의 단사 내면함수에 대해 유니버설 C*-대수를 구성할 수 있는가? 이는 이전의 유한 코어널에 대한 구성으로 일반화되는가?
• RQ2 언제 $\mathds{U}[\varphi,B]$ 가 키르히버그 대수이며, 따라서 키르히버그의 정리에 의해 분류 가능한가?
• RQ3 만약 $G$ 가 아메니타블이고 $\varphi$ 가 순수하다면, $\mathds{U}[\varphi]$ 의 $K$-이론은 $C^*(G)$ 와 동형인가?
• RQ4 $\mathds{U}[\varphi]$ 는 $S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ 에 대한 이四十형 C*-대수 $C^*(S)$ 로 표현될 수 있는가? 이 경우 $C^*(S)$, $C^*_{s}(S)$, $C^*_{r}(S)$ 는 상호 동형인가?

주요 결과

• $G$ 가 아메니타블이고 $\varphi$ 가 순수할 경우, $\mathds{U}[\varphi,B]$ 는 키르히버그 대수이므로, 분리 가능하고, 핵심적이며, 단순하고 순수 무한하다.
• $K$-이론은 Khoshkam 과 Skandalis 의 6항 정확열과 분할 정확열을 통해 $K_*(C^*(G))$ 와 동형임을 보였다.
• $\mathds{U}[\varphi]$ 는 $S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ 에 대한 전체 이四十형 C*-대수 $C^*(S)$ 와 동형이며, 아메니타블성과 순수성 조건 하에서 이 동형이 유지된다.
• $G$ 가 아메니타블이고 $\varphi$ 가 순수할 경우, 축소형과 스켈레톤 반군 C*-대수 $C^*_{r}(S)$ 와 $C^*_{s}(S)$ 는 $\mathds{U}[\varphi]$ 와 동형이다.
• $\mathds{U}[\varphi]$ 와 $C^*(S)$ 간의 동형은 각 대수의 생성자 집합 사이에 상호 역인 $*$-호모모르피즘을 구성함으로써 확립되었다.
• 결과적으로 $\mathds{U}[\varphi]$ 는 UCT 를 만족하고 $[1]_0 = 1$ 이며, $K$-이론이 $C^*(G)$ 와 일치하므로 키르히버그의 정리에 의해 분류 가능함을 확인한다.