[논문 리뷰] Calculus on parameterized quantum circuits

Javier Gil Vidal, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 애초에 애너실라 큐비트나 제어 연산을 요구하지 않고, 푸리에 기반 미분을 가능하게 하는 고유값 간격 조건을 활용하여, 매개변수화된 양자 회로(PQC)의 도함수 계산을 확장한다. 해밀토니안 고유값이 유리수 간격을 가질 경우, 원래 회로의 다중 평가를 통해 도함수를 계산할 수 있으며, 이는 노이즈에 강건한 좌표 강하 최적화에 유리한 국소 기울기 정보를 제공한다.

ABSTRACT

Mitarai, Negoro, Kitagawa, and Fujii proposed a type of parameterized quantum circuits, for which they gave a way to estimate derivatives wrt the parameters using only changes in the values of the parameters, not in the circuit itself, i.e., no ancillas or controlled operations. Recently, Schuld et al. have extended the results, but they need to revert to ancillas and controlled operations for some cases. In this note, we extend the types of MiNKiF circuits for which derivatives can be computed without ancillas or controlled operations --- at the cost of a larger number of evaluation points. We also propose a "training" (i.e., optimizing the parameters) which takes advantage of our approach.

연구 동기 및 목표

• MiNKiF 매개변수화된 양자 회로에서 도함수 계산의 범위를 일반화된 파울리 해밀토니안을 초월하여 확장하기.
• NISQ 장치에서 노이즈와 연결성 제약으로 인해 문제가 되는 애너실라 큐비트와 제어 연산이 없는 기울기 추정 방법을 제거하기.
• 푸리에 전개에서 유도된 완전한 국소 기울기 정보를 활용하여 더 나은 최적화를 위한 훈련 방법 개발하기.
• 복잡한 도함수 회로를 피하므로 노이즈에 강건한 기울기 추정을 가능하게 하기.

제안 방법

• 해밀토니안 $ H_j $의 고유값이 유리수 간격을 가진다고 가정한다. 즉, $ \lambda_j = \alpha k_j $ (정수 $ k_j $) 이며, $ H_j/\alpha $ 는 정수 고유값을 가진다.
• 함수 $ f(t) = \operatorname{tr}(M U(t) \rho U(t)^ {\dagger}) $ 의 다중 점에서의 평가로 도함수 계산을 축소한다. 여기서 $ U(t) = e^{-itH_j} $ 이며, 푸리에 전개 방법을 사용한다.
• 함수 $ f(t) $ 의 푸리에 계수로부터 도함수를 재구성하며, 이 계수들은 고유값 간격과 관련된 전략적으로 선택된 점들에서 $ f $ 를 샘플링하여 추정한다.
• 두 개 이상의 고유값을 가진 해밀토니안의 경우, 푸리에 전개의 최소값을 구하기 위해 준선형계획법을 사용한다. 이는 정확한 도함수 추정을 가능하게 한다.
• 각 매개변수 방향에 대한 함수의 완전한 국소 의존성을 계산함으로써 좌표 강하 최적화를 가능하게 한다.
• 애너실라 큐비트와 제어 연산을 피함으로써 회로 레이아웃을 유지하고 기울기 추정의 노이즈를 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 파울리 해밀토니안을 초월한 MiNKiF 매개변수화된 양자 회로에서 기대값의 도함수는 애너실라 큐비트나 제어 연산 없이 계산될 수 있는가?
• RQ2 어떤 고유값 간격 조건이 추가 양자 자원 없이 간단한 회로 평가로 도함수 계산을 가능하게 하는가?
• RQ3 매개변수에 의존하는 기대값의 완전한 푸리에 전개는 더 강건한 최적화 알고리즘 설계에 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 기울기 추정에서 애너실라 큐비트의 부재는 근접한 양자 장치에서 노이즈 유도 오차를 감소시키는가?
• RQ5 완전한 국소 기울기 계산이 기울기 기반 또는 부분 도함수 방법보다 열등한 최적화 전략을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 각 해밀토니안의 고유값이 유리수 간격을 가진다면, 즉 $ \lambda_j = \alpha k_j $ (정수 $ k_j $) 이면, MiNKiF PQC의 기대값 도함수는 애너실라 큐비트나 제어 연산 없이 계산 가능하다.
• 필요한 회로 평가 수는 서로 다른 고유값 차이의 수에 비례하며, 고유값 수에 대해 제곱형으로 증가할 수 있다.
• 두 개의 고유값 또는 균일하게 간격이 떨어진 세 개의 고유값을 가진 해밀토니안의 경우, 이 방법은 소수의 평가만으로도 이전 방법과 동일하거나 더 낫게 작동한다.
• 푸리에 전개를 통해 완전한 국소 기울기 정보를 확보함으로써 좌표 강하 최적화와 같은 고급 최적화 전략을 지원한다.
• 애너실라 기반 도함수 회로의 노이즈 증폭을 피함으로써, NISQ 장치에 더 적합한 방법이다.
• 준선형계획법을 사용해 푸리에 전개의 최소값을 구할 수 있으며, 이는 복잡한 스펙트럼에 대해서도 정확한 도함수 추정을 가능하게 한다.