[논문 리뷰] Cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 무한 perfect 체 위에서 Grothendieck-Witt-대응과 Witt-대응에 대한 取消정리(cancelation theorem)를 증명하며, 효과적 GW-모티브에서 전체 GW-모티브로 가는 ${\mathbb{G}_m}$-안정화 함자 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}$가 전부 충실함을 확립한다. 이는 motivic Ext-군과 호모토피 불변층의 전이를 갖는 Nisnevich 코homology 사이에 자연스러운 동형사상이 존재함을 의미한다.

ABSTRACT

The cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences between smooth varieties over an infinite prefect field $k$, $char k eq 2$, is proved, the isomorphism $$Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet,B^\bullet) \simeq Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet(1),B^\bullet(1)),$$ for $A^\bullet,B^\bullet\in \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ in the category of effective Grothendieck-Witt-motives constructed in \cite{AD_DMGWeff} is obtained (and similarly for Witt-motives). This implies that the canonical functor $Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\colon \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k) o \mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is fully faithful, where $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is the category of non-effective GW-motives (defined by stabilization of $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ along $\mathbb G_m^{\wedge 1}$) and yields the main property of motives of smooth varieties in the category $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$: $$ Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)}(M^{GW}(X), Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) ,$$ for any smooth variety $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $\mathcal F$ (and similarly for $\mathbf{DM}^\mathrm{W}(k)$).

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 체 위에서 효과적 Grothendieck-Witt-모티브 및 Witt-모티브의 카테고리에서 취소정리를 확립하기 위해.
• 함자 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}$가 전부 충실함을 증명하여, 무한 스펙트럼에 대한 GW-모티브 카테고리가 잘 정의됨을 보장하기 위해.
• 모티브 코호몰로지 이외의 Ext-군이 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 내에서 호모토피 불변층의 GW-전이를 갖는 Nisnevich 코호몰로지 계산함을 보여주기 위해.
• Voevodsky-Suslin 방법을 GW- 및 Witt-모티브로 확장하여, 매끄러운 다양체의 모티브에 대해 명시적인 프라임-재구성(fibrant replacement)을 제공하기 위해.
• 모티브 이론의 유일한 동치를 제안하는 바, $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}} \simeq \mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$이며, 이는 유리화 이후 GW-모티브가 안정 모티브 호모토피 이론과 연결됨을 의미한다.

제안 방법

• 매끄러운 다양체 위의 GW-대응에 대한 Nisnevich 층의 $\mathbb{A}^1$-국소화로 카테고리 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k)$를 구성한다.
• GW-대응을 $k[X] \times k[Y]$ 위의 유한 생성 프로젝티브 모듈의 Grothendieck-Witt 군으로 정의하며, 이는 이중성 등식을 만족하는 2차 형식을 포함한다.
• Voevodsky-Suslin 방법 적용: 층화, $\mathbb{A}^1$-국소화, $\mathbb{P}^1$-국소화를 통해 카테고리 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$를 도출한다.
• 국소화 함자의 보편 성질을 이용해 수반 관계를 확립: $L_{\mathrm{nis}} \dashv F_{\mathrm{GW}}$, $L_{\mathbb{A}^1} \dashv R_{\mathbb{A}^1}$, $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty} \dashv \Omega_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}$.
• [18]의 기법을 응용하여, 이중성 구조를 갖는 dg-카테고리의 범주를 통해 비가환 모티브로의 확장을 도입하며, $\widetilde{NcS}(S)$ 및 $DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$를 정의한다.
• dg-카테고리와 이중화 함수자에 대한 범주 위의 프레셰브의 국소화에 기반한, $DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$와의 추측적 동치를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함자 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$는 전부 충실한가?
• RQ2 모든 매끄러운 다양체 $X$와 호모토피 불변층 $\mathcal{F}$에 대해, $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 내에서 motivic cohomology는 GW-전이를 갖는 $\mathcal{F}$의 Nisnevich 코호몰로지를 계산하는가?
• RQ3 GW-대응에서 출발하여 Voevodsky-Suslin 방법을 통해 GW-모티브의 카테고리를 구성할 수 있는가?
• RQ4 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}}$는 유리화된 안정 모티브 호모토피 이론 $\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$와 동치인가?
• RQ5 오직 dg-카테고리 간의 사상만을 사용하여 이중성 구조를 갖는 객체를 수정하지 않고도 비가환 모티브를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 함자 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$는 전부 충실하며, 이는 GW-대응에 대한 취소정리의 증명이다.
• 모든 매끄러운 다양체 $X$와 호모토피 불변층 $\mathcal{F}$에 대해, 자연스러운 동형사상 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}}(M^{GW}(X), \Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}\mathcal{F}[i]) \simeq H^{i}_{\mathrm{Nis}}(X, \mathcal{F})$ 가 존재한다.
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$는 $\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ 내에서 프라임-재구성 함자를 제공하며, GW-모티브가 유리화된 안정 모티브 호모토피 이론으로 실현됨을 보여준다.
• GW-대응에서 출발하는 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$의 구성은 Câlmâs와 Fasel의 이론과 동치인 일반화된 motivic cohomology 이론을 제공한다.
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{W}}(k)$는 Ananyevskiy, Levine, Panin이 구성한 Witt-모티브 카테고리 $\mathbf{DM}_W(k)$와 동치일 것으로 예상된다.
• dg-카테고리와 이중화 함수자에 대한 범주 위의 프레셰브의 국소화에 기반한, $DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$와의 추측적 동치를 제안한다.