[논문 리뷰] Effective Grothendieck-Witt motives of smooth varieties

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 무한 perfect field 위의 smooth 다양체에 대해 Voevodsky-Suslin의 방법을 사용하여 효과적 Grothendieck-Witt 모티브의 범주를 구축한다. 이는 GW-모티브가 호모토피 불변 층의 Nisnevich 코homology를 계산함을 증명하며, fibrant replacement를 통해 모티브릭 호모토피 이론과 GW-이론 사이의 기본적인 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

The category of effective Grothendieck-Witt-motives $\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ (and Witt-motives $\mathbf{DM}^W_{\mathrm{eff},-}(k)$) by Voevodsky-Suslin method starting with some category of GW-correspondences (and Witt-correspondences) over a perfect field $k$, $char\,k eq 2$, is defined. The functor $M^{GW}_{eff}\colon Sm_k o \mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ of Grothendieck-Witt-motives of smooth varieties is computed and it is proved that for any smooth scheme $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $F$ $$ Hom_{\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F) $$ naturally in $X$ and $F$.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 체 k 위의 smooth 스킴에 대해 효과적 Grothendieck-Witt 모티브의 범주 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 를 정의한다.
• Voevodsky-Suslin의 방법을 GW-대응으로 확장하여, 이차형식의 구조를 갖는 모티브의 호모토피 이론적 구성법을 가능하게 한다.
• GW-모티브틱 범주에서 사상 집합과 호모토피 불변 층의 GW-전이를 갖는 Nisnevich 코homology 사이의 표준적 동형을 확립한다.
• Witt-모티브의 범주에 대해 fibrant replacement 모델을 제공하여, 이가 유리수 위에서 안정적인 모티브릭 호모토피 범주와 일치하도록 한다.

제안 방법

• 호모토피 불변 층 코hom로지가 있는 복합체로 생성되는 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 의 전체 부분범주로 범주 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 를 구성한다.
• Smooth 스킴 X의 효과적 GW-모티브 $M^{GW}_{eff}(X)$ 는 복합체 $\mathcal{H}om_{\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))}(\Delta^{\bullet}, {GWCor}_{nis}(-,X))$ 로 정의한다. 여기서 $\Delta^{\bullet}$ 은 표준적인 코심플리셜 스킴이다.
• 전이 구조와의 호환성을 확보하기 위해 $GWCor(-,X)$ 를 Nisnevich 층으로 쌓아 올려 $GWCor_{nis}(-,X)$ 를 얻는다.
• 무한 perfect field 위에서 $GWCor_k$ 의 엄격한 호모토피 불변성 성질을 이용하여, 유도 범주에서 호모토피 불변성 공리가 성립함을 보장한다.
• $\mathbb{A}^1$-수축과 $\mathbb{A}^1$-불변성에 의한 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 의 준직교 분해를 확립하여, 모티브릭 복합체의 범주로의 국소화를 가능하게 한다.
• $C^* = \mathcal{H}om(\Delta^\bullet, -)$ 를 모티브릭 복합체의 포함에 대한 왼쪽 수반 함자로 적용하여 원하는 모티브릭 범주를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 ≠ 2인 체 위의 smooth 다양체에 대해 Voevodsky-Suslin 방법을 어떻게 확장하여 효과적 Grothendieck-Witt 모티브의 범주를 구성할 수 있는가?
• RQ2 Smooth 스킴의 GW-모티브와 호모토피 불변 층의 GW-전이를 갖는 Nisnevich 코homology 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 효과적 GW-모티브의 범주는 Nisnevich 층과 GW-전이를 갖는 유도 범주의 전체 부분범주로 기술될 수 있는가?
• RQ4 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 의 구성이 Witt-모티브의 범주에 대해 fibrant replacement 모델을 제공하는가?
• RQ5 호모토피 불변 층 $F$ 가 GW-전이를 갖는 경우, $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i])$ 와 $H^i_{nis}(X, F)$ 사이에 표준적 동형이 존재하는가?

주요 결과

• 범주 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 는 호모토피 불변 층 코호몰로지가 있는 복합체로 생성되는 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 의 전체 부분범주와 동치이다.
• Smooth 스킴 X의 효과적 GW-모티브 $M^{GW}_{eff}(X)$ 는 복합체 $[\cdots \to {GWCor}_{nis}(-\times\Delta^i, X) \to \cdots \to {GWCor}_{nis}(-, X)]$ 와 자연스럽게 동형이다. 여기서 $\Delta^i$ 는 아핀 심플렉스이다.
• 모든 $i \geq 0$, $X \in Sm_k$, 그리고 GW-전이를 갖는 호모토피 불변 층 $F$ 에 대해 자연스러운 동형 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F)$ 이 존재한다.
• 이 구성은 Nisnevich Mayer-Vietoris 및 $\mathbb{A}^1$-호모토피 불변성 공리를 만족하여, 모티브릭 코hom로지에 대해 잘 행동하는 범주임을 보장한다.
• $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 는 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor)) = \langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$ 의 준직교 분해를 갖는다. 여기서 $\mathcal{A}$ 는 모티브릭 복합체의 범주이다.
• 결과적으로 Witt-모티브의 범주에 대해 fibrant replacement 모델을 제공하며, 구성된 범주 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 는 안정적인 모티브릭 호모토피 범주를 통해 유리수 위에서 $\mathbf{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ 와 동치이다.