[논문 리뷰] Characterization of Non-Deterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexity

Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|2000. 01. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 총 부울 함수를 표현하는 비결정적 다항식의 차수와 비결정적 통신 행렬의 질량의 로그에 대해 각각 비결정적 양자 질의 및 통신 복잡도 간의 선형 관계를 수립한다. 이는 총 부울 함수에 대해 질의 및 통신 복잡도 환경에서 지수적 양자-고전적 간극을 보여준다.

ABSTRACT

It is known that the classical and quantum query complexities of a total Boolean function f are polynomially related to the degree of its representing polynomial, but the optimal exponents in these relations are unknown. We show that the non-deterministic quantum query complexity of f is linearly related to the degree of a “non-deterministic ” polynomial for f. We also prove a quantum-classical gap of 1 vs. n for non-deterministic query complexity for a total f. In the case of quantum communication complexity there is a (partly undetermined) relation between the complexity of f and the logarithm of the rank of its communication matrix. We show that the non-deterministic quantum communication complexity of f is linearly related to the logarithm of the rank of a non-deterministic version of the communication matrix. We also exhibit an exponential quantum-classical gap for non-deterministic communication complexity.

연구 동기 및 목표

• 총 부울 함수를 표현하는 비결정적 다항식의 차수와 관련된 비결정적 양자 질의 복잡도를 특성화하기 위해.
• 비결정적 양자 통신 복잡도와 비결정적 통신 행렬의 질량의 로그 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 총 함수에 대해 비결정적 질의 및 통신 모델에서 양자-고전 복잡도 간극을 수립하기 위해.
• 비결정성의 역할을 대수적 및 선형대수적 측정치와 연결함으로써 양자 복잡도 이론에서의 비결정성의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 부울 함수 f에 대해 각 단항식이 유효한 비결정적 증거에 대응하는 비결정적 다항식의 개념을 도입한다.
• 모든 유효한 비결정적 증거들 중에서 최소한의 양자 질의 비용을 갖는 것을 비결정적 양자 질의 복잡도로 정의한다.
• 비결정적 양자 질의 복잡도와 함수 f를 표현하는 비결정적 다항식의 차수 사이의 선형 관계를 수립한다.
• 입력 쌍마다 여러 개의 유효한 요소를 允許하는 방식으로 통신 행렬의 비결정적 버전을 구성한다.
• 모든 유효한 비결정적 증거들 중에서 최소한의 양자 통신 비용을 갖는 것을 비결정적 양자 통신 복잡도로 정의한다.
• 비결정적 양자 통신 복잡도와 비결정적 통신 행렬의 질량의 로그 사이의 선형 관계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 부울 함수에 대해 비결정적 양자 질의 복잡도는 비결정적 다항식의 차수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 총 함수에 대해 비결정적 질의 복잡도에서 양자-고전 간극을 입증할 수 있는가?
• RQ3 비결정적 양자 통신 복잡도와 비결정적 통신 행렬의 질량 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 총 함수에 대해 비결정적 통신 복잡도에서 양자와 고전 간에 지수적 간극이 존재하는가?

주요 결과

• 비결정적 양자 질의 복잡도는 함수 f를 표현하는 비결정적 다항식의 차수와 선형 관계가 있다.
• 총 부울 함수에 대해 비결정적 질의 복잡도에서 1 대 n 간극이 존재한다.
• 비결정적 양자 통신 복잡도는 비결정적 통신 행렬의 질량의 로그와 선형 관계가 있다.
• 총 함수에 대해 비결정적 통신 복잡도에서 지수적 양자-고전 간극이 나타난다.
• 결과적으로 비결정적 양자 복잡도 측정치에 대한 엄밀한 대수적 및 선형대수적 특성화가 수립된다.