[논문 리뷰] Classical shadows with Pauli-invariant unitary ensembles

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 48인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 파울리 불변 보편 단위행렬 집합—모든 파울리 연산자에 대한 곱셈에 대해 닫혀 있는 단위행렬 집합—을 사용한 고전적 샤로우 톰그래피를 위한 일반적인 프레임워크를 제안한다. 이는 명시적인 재구성 맵과 날카운 샘플링 복잡도 한계를 가능하게 하며, 클리포드 및 국소적으로 뒤섞인 집합에 대한 이전 결과들을 통합하고 확장한다. 이는 허용 가능한 노이즈에 강건한 효율적인 프로토콜을 제공하여 허공도, 얽힘 엔트로피, 양자 피셔 정보와 같은 양자 상태 성질을 추정한다.

ABSTRACT

The classical shadow estimation protocol is a noise-resilient and sample-efficient quantum algorithm for learning the properties of quantum systems. Its performance depends on the choice of a unitary ensemble, which must be chosen by a user in advance. What is the weakest assumption that can be made on the chosen unitary ensemble that would still yield meaningful and interesting results? To address this question, we consider the class of Pauli-invariant unitary ensembles, i.e. unitary ensembles that are invariant under multiplication by a Pauli operator. This class includes many previously studied ensembles like the local and global Clifford ensembles as well as locally scrambled unitary ensembles. For this class of ensembles, we provide an explicit formula for the reconstruction map corresponding to the shadow channel and give explicit sample complexity bounds. In addition, we provide two applications of our results. Our first application is to locally scrambled unitary ensembles, where we give explicit formulas for the reconstruction map and sample complexity bounds that circumvent the need to solve an exponential-sized linear system. Our second application is to the classical shadow tomography of quantum channels with Pauli-invariant unitary ensembles. Our results pave the way for more efficient or robust protocols for predicting important properties of quantum states, such as their fidelity, entanglement entropy, and quantum Fisher information.

연구 동기 및 목표

• 의미 있는 고전적 샤로우 결과를 도출할 수 있는 최소한의 단위행렬 집합에 대한 가정을 규명하기 위해.
• 파울리 불변 보편 단위행렬 집합에 대한 명시적인 재구성 맵과 샘플링 복잡도 한계를 개발하기 위해.
• 국소적으로 뒤섞인 단위행렬 집합에 프레임워크를 적용하여 기하급수적인 선형 시스템 해법을 피하기 위해.
• 파울리 불변 집합을 사용하여 고전적 샤로우 톰그래피를 양자 채널로 일반화하기 위해.
• 재구성 계수를 역학의 얽힘 특성과 연결하여 더 깊은 물리적 통찰을 확보하기 위해.

제안 방법

• 모든 파울리 연산자에 대한 곱셈에 대해 닫혀 있는 집합으로서 파울리 불변 보편 단위행렬 집합을 정의한다. 이는 클리포드 및 국소적으로 뒤섞인 집합을 포함한다.
• 군 이론적 및 추적 기반 항등식을 사용하여 샤로우 채널의 명시적 재구성 맵을 유도한다.
• 그림자 노름을 통해 샘플링 복잡도 한계를 확립하며, 이를 집합의 가중 함수의 역수와 연결한다.
• 파울리 불변 집합의 구조를 활용하여 재구성 과정에서 시스템과 측정 부분을 분리한다.
• 기하급수적인 선형 시스템을 풀지 않고도 국소적으로 뒤섞인 집합에 대해 명시적으로 재구성 맵을 계산함으로써 이 형식을 적용한다.
• 그림자 프로토콜을 채널의 입력과 출력으로 확장하여 양자 채널 톰그래피로 프레임워크를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 최소한의 구조적 가정이 효과적인 고전적 샤로우 재구성 결과를 보장하는가?
• RQ2 파울리 불변 집합에 대해 재구성 맵을 어떻게 명시적으로 계산할 수 있으며, 이는 얽힘 특성과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 파울리 불변 집합에 대해 그림자 노름을 기반으로 샘플링 복잡도 한계를 유도할 수 있는가?
• RQ4 기하급수적인 선형 시스템을 풀지 않고도 국소적으로 뒤섞인 단위행렬 집합에 대해 고전적 샤로우 프레임워크를 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 파울리 불변 집합을 사용하여 고전적 샤로우 톰그래피를 양자 채널로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 파울리 불변 보편 단위행렬 집합 하에서 고전적 샤로우 채널에 대해 명시적인 재구성 맵이 도출되었으며, 이는 클리포드 및 국소적으로 뒤섞인 집합을 포함한 모든 유형의 집합에 대해 유효하다.
• 그림자 노름을 기반으로 샘플링 복잡도 한계가 확립되었으며, 집합의 가중 함수의 역수에 대한 명시적 의존성이 있다.
• 국소적으로 뒤섞인 단위행렬 집합의 경우 재구성 맵이 명시적으로 계산되었으며, 이는 기하급수적인 선형 시스템을 풀 필요가 없음을 보여준다.
• 파울리 관측량 $ P_{\vec{a}} $ 에 대한 그림자 노름은 $ \left\| \rho^T \otimes P_{\vec{a}} \right\|_{\mathcal{E}_{\mathcal{T}}} = W_{\mathcal{E}_o}[\vec{a}]^{-1} \frac{1}{2^{2n}} \sum_{\vec{a}_i} W_{\mathcal{E}_i}[\vec{a}_i]^{-1} W_\rho[\vec{a}_i] $ 로 나타나며, 계산 가능한 한계를 제공한다.
• 이 프레임워크는 고전적 샤로우 톰그래피를 양자 채널로 일반화하였으며, 이는 이전 결과를 모든 파울리 불변 보편 단위행렬 집합으로 확장한다.