[논문 리뷰] Classifying fractionalization: symmetry classification of gapped Z2 spin liquids in two dimensions

Andrew M. Essin, Michael Hermele|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 04.

Quantum many-body systems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 G의 코homology 군 H²(G, ℤ₂)의 원소로써 anyon의 분수화 클래스를 식별하여, 두 차원에서의 gapped ℤ₂ 스핀 유체의 대칭 분류를 제안한다. 이는 대칭군의 프로젝티브 표현에 의해 결정되는 서로 다른 대칭 클래스가, 대칭을 깨뜨리거나 상전이를 겪지 않는 한 애디아바틱하게 연결될 수 없는 위상적으로 다른 상들임을 보여준다. 정사각형 격자 공간군과 시간 역전 대칭, SO(3) 스핀 회전을 고려할 때, 분류는 약 2²¹ = 2,098,176개의 서로 다른 대칭 클래스를 도출한다.

ABSTRACT

We classify distinct types of quantum number fractionalization occurring in two-dimensional topologically ordered phases, focusing in particular on phases with Z2 topological order, that is, on gapped Z2 spin liquids. We find that the fractionalization class of each anyon is an equivalence class of projective representations of the symmetry group, corresponding to elements of the cohomology group H^2(G,Z2). This result leads us to a symmetry classification of gapped Z2 spin liquids, such that two phases in different symmetry classes cannot be connected without breaking symmetry or crossing a phase transition. Symmetry classes are defined by specifying a fractionalization class for each type of anyon. The fusion rules of anyons play a crucial role in determining the symmetry classes. For translation and internal symmetry, braiding statistics plays no role, but can affect the classification when point group symmetries are present. For square lattice space group, time reversal and SO(3) spin rotation symmetry, we find 2,098,176 ~ 2^21 distinct symmetry classes. We give an explicit construction of symmetry classes for square lattice space group symmetry in the toric code model. Via simple examples, we illustrate how information about fractionalization classes can in principle be obtained from the spectrum and quantum numbers of excited states. Moreover, the symmetry class can be partially determined from the quantum numbers of the four degenerate ground states on the torus. We also extend our results to arbitrary Abelian topological orders, and compare our classification with the related projective symmetry group classification of parton mean-field theories. Our results provide a framework for understanding and probing the sharp distinctions among symmetric Z2 spin liquids, and are a first step toward a full classification of symmetric topologically ordered phases.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서의 gapped ℤ₂ 스핀 유체 내에서 양자 수 분수화의 다양한 유형을 분류하는 것.
• 동일한 위상 순서를 가진다 해도 다른 대칭 강화 분수화를 가지는 위상적으로 순서가 매겨진 상들을 구별할 수 있는 대칭 분류 프레임워크를 수립하는 것.
• 군 코homology를 사용하여 대칭 작용이 anyon에 어떻게 프로젝티브하게 작용하는지 분석하고, 분수화 패턴을 분류하는 것.
• 다른 대칭 클래스에 속하는 상들이 대칭을 깨뜨리거나 상전이를 겪지 않는 한 애디아바틱하게 연결될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 이동 및 내부 대칭을 포함한 일반적인 아벨 위상 순서에 대해 분류를 확장하고, 기존의 프로젝티브 대칭군 방법과 비교하는 것.

제안 방법

• 대칭군 G의 프로젝티브 표현을 분류하기 위해 군 코hom올로지 H²(G, ℤ₂)를 사용하며, 이는 anyon의 분수화 클래스를 캡슐화한다.
• 이론을 이동, 내부 및 점군 대칭을 갖는 시스템에 적용하여, 이동 및 내부 대칭에서는 브레이딩 통계가 영향을 주지 않지만, 점군 대칭에서는 분류에 영향을 준다는 것을 보여준다.
• 정사각형 격자 공간군, 시간 역전, SO(3) 스핀 회전을 갖는 토릭 코드 모델에서 11개의 프로젝티브 표현으로 구성된 생성 집합을 사용하여 명시적인 대칭 클래스를 구성한다.
• 토러스 위의 네 중퇴화된 기본 상태 다각형에 대한 대칭 연산자의 변환 규칙을 유도하기 위해 국소 힐베르트 공간 분해를 통해 부피와 전반적 영역으로 나누어진다.
• S_a|ψ_α⟩ = S_a(R)S_a^G|ψ_α⟩와 같은 관계를 사용하여 국소 및 전반적 대칭 작용을 분리함으로써, 흥분 상태의 양자 수로부터 분수화 클래스를 추출할 수 있다.
• 정사각형 격자 공간군에 시간 역전과 스핀 회전을 추가한 경우, 11개의 σ 매개변수로 구성된 인자 집합이 H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹를 생성하며, 이는 모든 2¹¹ = 2,098,176개의 클래스가 실현 가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭이 존재할 때, ℤ₂ 스핀 유체 내에서의 다양한 분수화 유형은 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 동일한 위상 순서를 가진 두 개의 gapped ℤ₂ 스핀 유체가 서로 다른 분수화를 가지는 경우, 이들이 애디아바틱하게 연결될 수 있는가에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이동, 시간 역전, 점군 대칭은 anyon의 가능한 분수화 패턴에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 어떤 ℤ₂ 스핀 유체의 대칭 클래스는 그 흥분 상태나 기본 상태 다각형의 양자 수로부터 유추할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어, 시간 역전과 스핀 회전이 존재하는 정사각형 격자 공간군 하에서, 대칭 강화 ℤ₂ 스핀 유체 상의 완전한 집합은 무엇인가?

주요 결과

• 각 anyon의 분수화 클래스는 대칭군의 프로젝티브 표현의 동치류이며, H²(G, ℤ₂)의 원소로 분류된다.
• 시간 역전과 SO(3) 스핀 회전이 존재하는 정사각형 격자 공간군의 경우, 정확히 2,098,176개의 서로 다른 대칭 클래스가 존재하며, 이는 H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹에 해당한다.
• 분류는 완전하지 않으며, 대칭 작용에 의해 순열되는 anyon들은 현재의 프레임워크에서 고려되지 않는다.
• 토러스 위의 네 중퇴화된 기본 상태의 양자 수는 대칭 클래스를 부분적으로 결정할 수 있으며, 분수화의 측정 가능한 서명을 제공한다.
• 이 프레임워크는 단일 anyon과 플럭스를 포함한 흥분 상태의 스펙트럼과 양자 수로부터 분수화 클래스를 결정할 수 있도록 한다.
• 11개의 프로젝티브 표현으로 구성된 생성 집합이 구성되었으며, 이는 대칭군에 대해 가능한 모든 2¹¹ = 2,098,176개의 인자 집합이 텐서 곱을 통해 실현 가능하다.