[논문 리뷰] Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy

Jingzhen Hu, Qingzhong Liang외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 코딩의 3가지 연산인 연결, Z-안정자 제거, X-안정자 추가를 사용하여 클리포드 계층의 높은 수준에서 논리적 대각 게이트를 실현하는 CSS 양자 코드를 합성하는 방법을 제시한다. 핵심 기여는 이러한 연산이 코드를 유지하고 목표 논리적 게이트를 유도하기 위한 必要하고 충분한 조건을 유도한 것으로, 거기에 따라 증가하는 논리적 수준과 증가하는 거리로 구성된 양자 리드-멀러 코드 가족을 구성함으로써 입증된다.

ABSTRACT

Magic state distillation and the Shor factoring algorithm make essential use of logical diagonal gates. We introduce a method of synthesizing CSS codes that realize a target logical diagonal gate at some level $l$ in the Clifford hierarchy. The method combines three basic operations: concatenation, removal of $Z$-stabilizers, and addition of $X$-stabilizers. It explicitly tracks the logical gate induced by a diagonal physical gate that preserves a CSS code. The first step is concatenation, where the input is a CSS code and a physical diagonal gate at level $l$ inducing a logical diagonal gate at the same level. The output is a new code for which a physical diagonal gate at level $l+1$ induces the original logical gate. The next step is judicious removal of $Z$-stabilizers to increase the level of the induced logical operator. We identify three ways of climbing the logical Clifford hierarchy from level $l$ to level $l+1$, each built on a recursive relation on the Pauli coefficients of the induced logical operators. Removal of $Z$-stabilizers may reduce distance, and the purpose of the third basic operation, addition of $X$-stabilizers, is to compensate for such losses. For the coherent noise model, we describe how to switch between computation and storage of intermediate results in a decoherence-free subspace by simply applying Pauli $X$ matrices. The approach to logical gate synthesis taken in prior work focuses on the code states, and results in sufficient conditions for a CSS code to be fixed by a transversal $Z$-rotation. In contrast, we derive necessary and sufficient conditions by analyzing the action of a transversal diagonal gate on the stabilizer group that determines the code. The power of our approach is demonstrated by two proofs of concept: the $[[2^{l+1}-2,2,2]]$ triorthogonal code family, and the $[[2^m,\binom{m}{r},2^{\min\{r,m-r\}}]]$ quantum Reed-Muller code family.

연구 동기 및 목표

• 클리포드 계층의 높은 수준에서 논리적 대각 게이트를 실현하는 CSS 코드를 일반적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 이전 연구가 전이성 Z-회전에 대한 충분조건에만 초점을 맞춘 데 비해, 안정자 군 작용에 기반한 必요하고 충분한 조건을 도출함으로써 그 한계를 해결하는 것.
• 코드 거리와 비율을 유지하거나 향상시키면서 체계적으로 논리적 게이트 수준을 높여 고장내성 양자 계산을 가능하게 하는 것.
• 증가하는 거리와 증가하는 논리적 게이트 수준을 갖는 코드 가족을 명시적으로 구성함으로써 방법의 강력함을 입증하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 세 가지 핵심 연산을 사용한다: 물리적 게이트 수준을 높이기 위해 연결, 논리적 게이트 수준을 높이기 위해 Z-안정자 제거, 코드 거리를 복원하거나 증가시키기 위해 X-안정자 추가.
• 패러일 전개에서 생성자 계수를 통해 유도된 논리적 연산을 추적하며, 각 연산의 타당성을 보장하기 위해 재귀 관계를 사용한다.
• Z-안정자 제거와 X-안정자 추가의 타당성은 식 (46)과 (79)로 표현된 Z-안정자 부호와 코드의 쌍대 구조에 관한 조건에 의해 결정된다.
• 연결은 항상 타당하며, 제거와 추가는 생성자 계수가 특정 부호 및 계수 제약 조건을 만족하는지 확인해야 한다.
• 합성된 논리 채널을 명시적으로 모델링하여, 심호 및 수정을 포함한 상태 진화를 추적한다.
• 이 프레임워크는 $[\![2^m, \binom{m}{r}, 2^{\min\{r,m-r\}}]\!]$ 양자 리드-멀러 코드 가족을 연결, Z-안정자 제거, X-안정자 추가를 순차적으로 반복하여 구성하는 데 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 체계적으로 클리포드 계층의 높은 수준에서 논리적 대각 게이트를 실현하는 CSS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 전이성 대각 물리적 게이트가 CSS 코드에서 원하는 논리적 게이트를 유도하기 위한 必요하고 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ3 코드 거리와 코드 비율을 유지하면서 논리적 게이트 수준을 어떻게 높일 수 있는가?
• RQ4 연결, Z-안정자 제거, X-안정자 추가의 세 가지 연산을 조합하여 거리가 증가하고 논리적 게이트 수준이 높아지는 코드 가족을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 생성자 계수와 안정자 부호는 코드 변환의 타당성 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이 방법은 연결을 통해 물리적 대각 게이트가 수준 $l+1$에 있을 때 원래의 논리적 게이트가 수준 $l$에 해당하는 새로운 CSS 코드를 구성함으로써 클리포드 계층을 오를 수 있다.
• Z-안정자의 제거는 논리적 게이트 수준과 코드 비율을 높이지만 거리를 감소시킬 수 있으며, 이는 X-안정자의 추가로 보완된다.
• Z-안정자 제거와 X-안정자 추가의 타당성은 식 (46)과 (79)로 주어진 생성자 계수와 안정자 부호에 대한 명시적 조건에 의해 결정된다.
• 이 구성은 $h$번의 연결, $\left(\binom{m+h}{r+1} + \binom{m+h}{r} - \binom{m}{r}\right)$개의 Z-안정자 제거, $\binom{m+h}{r}$개의 X-안정자 추가를 통해 $[\![2^m, \binom{m}{r}, 2^{\min\{r,m-r\}}]\!]$ 양자 리드-멀러 코드 가족을 성공적으로 생성한다.
• 고정된 $r$에 대해 거리는 일정 유지되며, $r$을 1 증가시키고 $m$을 $h = r + \frac{m}{r} + 1$로 조정하면 거리가 두 배로 증가하고 논리적 게이트 수준이 한 단계 높아지는 코드가 된다.
• 이 방법은 패러일 $X$ 행렬을 적용하여 비가역성 없는 부분공간에서 계산과 저장 간 전환을 가능하게 하며, 일관된 노이즈 모델을 활용한다.