[논문 리뷰] Mitigating Coherent Noise by Balancing Weight-2 $Z$-Stabilizers

Jingzhen Hu, Qingzhong Liang외 2명|UA Campus Repository (The University of Arizona)|2020. 10. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 안정자 코드의 코드 공간 위에서 횡방향 Z-회전이 자명하게 작용하도록 보장하여 양자 오류정정 코드에서의 응집성 노이즈에 대한 수동적 완화 전략을 제안한다. 이는 안정자 코드가 응집성 노이즈(특히 횡방향 Z-회전)에 민감하지 않다 할 수 있는 조건을 규명하며, 이는 무게 2인 Z-안정자들이 짝수 길이의 단일 패리티 체크 코드의 직접곱을 이룬다는 것과 동치이며, 이는 [[4L²,1,2L]] 쇼어 코드와 같은 일정 에너지 코드를 구성할 수 있게 해, 응집성 노이즈 축적에 대해 본질적으로 내성적으로 내성적인 코드를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Physical platforms such as trapped ions suffer from coherent noise where errors manifest as rotations about a particular axis and can accumulate over time. We investigate passive mitigation through decoherence free subspaces, requiring the noise to preserve the code space of a stabilizer code, and to act as the logical identity operator on the protected information. Thus, we develop necessary and sufficient conditions for all transversal $Z$-rotations to preserve the code space of a stabilizer code, which require the weight-$2$ $Z$-stabilizers to cover all the qubits that are in the support of some $X$-component. Further, the weight-$2$ $Z$-stabilizers generate a direct product of single-parity-check codes with even block length. By adjusting the size of these components, we are able to construct a large family of QECC codes, oblivious to coherent noise, that includes the $[[4L^2, 1, 2L]]$ Shor codes. Moreover, given $M$ even and any $[[n,k,d]]$ stabilizer code, we can construct an $[[Mn, k, \ge d]]$ stabilizer code that is oblivious to coherent noise. If we require that transversal $Z$-rotations preserve the code space only up to some finite level $l$ in the Clifford hierarchy, then we can construct higher level gates necessary for universal quantum computation. The $Z$-stabilizers supported on each non-zero $X$-component form a classical binary code C, which is required to contain a self-dual code, and the classical Gleason's theorem constrains its weight enumerator. The conditions for a stabilizer code being preserved by transversal $2π/2^l$ $Z$-rotations at $4 \le l \le l_{\max} <\infty$ level in the Clifford hierarchy lead to generalizations of Gleason's theorem that may be of independent interest to classical coding theorists.

연구 동기 및 목표

• 안정자 코드의 코드 공간 위에서 횡방향 Z-회전이 유지되는 조건을 규명하는 것.
• 활성 오류 정정 없이 응집성 노이즈에 대한 수동적 오류 완화 전략을 개발하는 것.
• 모든 횡방향 Z-회전에 대해 불변인 안정자 코드를 특성화하여 논리적 항등 작용을 보장하는 것.
• 고전적 부호 이론을 활용하여 응집성 노이즈에 민감하지 않은 부호의 구조적 특성화를 수립하는 것.
• 응집성 Z-회전에 본질적으로 내성적인 큰 양자 오류정정 부호(QECC)의 가족을 구성하는 것.

제안 방법

• 삼각함수 제약 조건과 MacWilliams 항등식을 사용하여 횡방향 Z-회전이 코드 공간을 유지하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 유도한다.
• 모든 X-안정자 성분의 지지 집합에 포함된 모든 큐비트를 무게 2인 Z-안정자가 커버해야 한다는 조건을 요구한다.
• 짝수 길이의 단일 패리티 체크 부호로부터의 곱 부호를 구성하여 응집성 저항성을 확보한다.
• 유한한 l에 대해 각도 π/2^l의 Z-회전에 대해 부호가 유지되는 방식을 기술하기 위해 생성자 계수 프레임워크를 사용한다.
• 특히 MacWilliams 항등식을 활용하여 무게 열거자와 삼각함수 합을 분석하기 위해 고전적 부호 이론 도구를 적용한다.
• CSS 부호가 응집성 노이즈에 민감하지 않다 할 수 있는 조건은 오직 그것이 일정 에너지 부호일 때에만 성립함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정자 코드의 논리적 상태 위에서 횡방향 Z-회전이 자명하게 작용하도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 횡방향 Z-회전에 의한 응집성 노이즈에 대해 본질적으로 내성적인 안정자 부호는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 모든 횡방향 Z-회전에 대해 불변이 되기 위해 안정자 부호가 가져야 할 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 고전적 부호 구조에 기반하여 응집성 노이즈에 민감하지 않은 안정자 부호를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 모든 Z-회전에 대한 불변성 요구 조건을 완화하면서도 효과적인 노이즈 완화를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 안정자 부호가 응집성 노이즈에 민감하지 않다 할 수 있는 것은 오직 그것이 일정 에너지 부호일 때에만 성립하며, 이는 논리적 상태가 동일한 무게를 가진 계산 기저 상태의 중첩임을 의미한다.
• 횡방향 Z-회전에 대해 불변이 되기 위한 필수 및 충분 조건은 무게 2인 Z-안정자들이 짝수 길이의 단일 패리티 체크 코드의 직접곱을 이룬다는 것이다.
• 이 구성 방법은 [[4L²,1,2L]] 쇼어 부호를 포함한 부호의 가족을 도출하며, 이는 응집성 Z-회전에 대해 강건하다.
• 오류 탐지 부호의 경우, X-안정자의 서로 다른 코스에 속한 무게는 동일하며, 이는 핵심적인 구조적 제약 조건이다.
• 응집성 저항성을 확보하기 위한 최소 자원 비용은 물리 큐비트 수를 두 배로 늘리는 것(스케일링 인자 2)이며, 이는 곱 부호 구성에 의해 입증된다.
• 논문은 만약 부호가 l ≥ 2에 대해 모든 횡방향 Z-회전(각도 π/2^l)에 대해 불변이라면 논리적 작용은 자명하며, 이 성질은 조합을 통해 더 작은 l에 대해서도 확장됨을 증명한다.