[논문 리뷰] Coactions of Hopf C*-bimodules

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 호프 $C^*$-이중모듈러스의 공행동을 호프 $C^*$-대수의 공행동과 군oids의 작용을 일반화하는 통합 프레임워크로 도입한다. $C^*$-퍼세우도-카스 체계를 사용하여 축소된 교차곱을 구성하고, 정교한 공행동에 대해 이중성 정리를 증명하여, 정교한 공행동의 이중이 원래 공행동과 모리타 동치임을 보인다. 주요 기여는 에탈레 군oids 위의 연속 펠 뭉치와 그 축소된 군oids $C^*$-대수의 공행동 사이의 범주론적 이중성이다.

ABSTRACT

Coactions of Hopf C*-bimodules simultaneously generalize coactions of Hopf C*-algebras and actions of groupoids. Following an approach of Baaj and Skandalis, we construct reduced crossed products and establish a duality for fine coactions. Examples of coactions arise from Fell bundles on groupoids and actions of a groupoid on bundles of C*-algebras. Continuous Fell bundles on an etale groupoid correspond to coactions of the reduced groupoid algebra, and actions of a groupoid on a continuous bundle of C*-algebras correspond to coactions of the function algebra.

연구 동기 및 목표

• 호프 $C^*$-대수의 공행동과 군oids의 작용을 동시에 일반화하는 호프 $C^*$-이중모듈러스의 공행동을 위한 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 자기 $C^*$-퍼세우도-카스 체계를 사용하여 축소된 교차곱과 이중 공행동을 구성함으로써, 바아주와 스타칸딜리스의 이중성 이론을 확장하는 것.
• 에탈레 군oids 위의 연속 펠 뭉치와 그 축소된 군oids $C^*$-대수의 공행동 사이의 범주론적 이중성을 수립하는 것.
• 에탈레 군oids일 경우, 축소된 군oids $C^*$-대수의 모든 정교한 공행동이 연속 펠 뭇지로부터 유도된다는 것을 보이는 것.

제안 방법

• 기본 $C^*$-모듈러스의 상대 텐서곱과 $C^*$-기반을 중심으로 한 $C^*$-대수의 섬유곱을 사용하여 호프 $C^*$-이중모듈러스의 공행동을 정의한다.
• 자기 $C^*$-퍼세우도-카스 체계를 통해 축소된 교차곱과 이중 공행동을 구성하며, 이 체계는 $C^*$-퍼세우도-곱셈 항등원과 대칭성을 포함한다.
• KSGNS 구성법과 내부 텐서곱 구조를 적용하여 기반 대수 위의 힐베르트 $C^*$-모듈러스 구조를 정의한다.
• 이중 공행동 구성법을 통해 정교한 공행동의 이중이 원래 공행동과 모리타 동치임을 증명한다.
• 국소적으로 컴act한 하우스도르프 군oids로부터 $C^*$-퍼세우도-카스 체계를 구성함으로써, 두 개의 이중성이 성립하는 호프 $C^*$-이중모듈러스를 얻는다: 함수 대수와 축소된 군oids $C^*$-대수.
• 자연 변환과 범주론적 도구를 사용하여, 펠 뭇지에서 공행동으로의 할당이 전사적이고 코리플렉티브한 부분범주임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 $C^*$-이중모듈러스의 공행동은 어떻게 정의되어야 하며, 이는 호프 $C^*$-대수의 공행동과 군oids의 작용을 동시에 일반화할 수 있는가?
• RQ2 호프 $C^*$-이중모듈러스의 정교한 공행동에 대한 축소된 교차곱과 이중 공행동의 구조는 어떠한가?
• RQ3 에탈레 군oids 위의 연속 펠 뭇지와 그 축소된 군oids $C^*$-대수의 공행동 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 에탈레 군oids일 경우, 축소된 군oids $C^*$-대수의 모든 정교한 공행동은 연속 펠 뭇지로부터 유도되는가?
• RQ5 연속 펠 뭇지의 범주와 축소된 군oids $C^*$-대수의 공행동의 범주 사이의 범주론적 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 호프 $C^*$-이중모듈러스의 정교한 공행동의 이중은 원래 공행동과 모리타 동치이며, 이는 이중성 결과를 확립한다.
• 군oids $G$의 모든 작용은 연속 $C^*$-대수 뭉치 위에 $C_0(G^{(0)})$의 정교한 공행동으로 대응된다.
• 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 군oids $G$ 위의 모든 연속 펠 뭇지는 축소된 군oids $C^*_r(G)$의 공행동을 유도한다.
• 에탈레 군oids $G$에 대해, $C^*_r(G)$의 모든 매우 정교한 공행동은 $G$ 위의 연속 펠 뭇지로부터 유도되며, 이는 군들에 대한 퀸과 바아주-스탄딜리스 결과를 군oids로 일반화한다.
• 펠 뭇지에서 공행동으로의 할당은 전사적이고 코리플렉티브한 부분범주 포함을 정의하며, 관련된 함자들 사이에 자연 동치가 존재한다.
• $C^*$-퍼세우도-카스 체계를 군oids로부터 구성하면, 두 개의 이중성이 성립하는 호프 $C^*$-이중모듈러스 $C_0(G^{(0)})$과 $C^*_r(G)$를 얻으며, 이들은 적절한 의미에서 상호 이중성이다.