[논문 리뷰] The relative tensor product and a minimal fiber product in the setting of $C^{*}$-algebras

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 C*-이중모듈러스의 상대적 텐서곱과 C*-대수의 공간적 섬유곱을 도입하며, von Neumann 대수의 경우에 대한 Connes의 융합과 Sauvageot의 섬유곱을 C*-대수의 맥락으로 일반화한다. 힐버트 모듈러스의 상대적 텐서곱과 L²-공간의 섬유별 텐서곱 사이에 유니터리 동치를 확립하고, 섬유곱을 강한-* 연속적인 섬유별 작용을 갖는 유계 함수의 C*-대수로 특성화하여, 일반적으로 대수적 텐서곱을 진짜로 포함한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a relative tensor product of $C^{*}$-modules and a spatial fiber product of $C^{*}$-algebras that are analogues of Connes' fusion of correspondences and the fiber product of von Neumann algebras introduced by Sauvageot, respectively, and study their categorical properties. These constructions form the basis for our approach to quantum groupoids in the setting of $C^{*}$-algebras that is published separately.

연구 동기 및 목표

• von Neumann 대수에서 Connes의 융합을 C*-설정으로 일반화하는 C*-이중모듈러스의 상대적 텐서곱을 개발하는 것.
• 공통의 C*-부분대수에 대해 상대적인 C*-대수의 공간적 섬유곱을 정의하여 Sauvageot의 구성 방식을 C*-대수로 확장하는 것.
• 이전 접근 방식의 한계를 극복하고, C*-대수 맥락에서 양자 군oids를 위한 기초 틀을 제공하는 것.
• 섬유곱을 강한-* 연속적인 섬유별 작용을 갖는 유계 함수의 C*-대수로 특성화하여, 대수적 텐서곱과는 다름을 밝히는 것.

제안 방법

• 기저 C*-대수 위에 측도 가능 필드로 된 힐버트 공간을 통해 새로운 C*-이중모듈러스의 클래스를 도입하여, 섬유별 텐서곱 구성이 가능하도록 하는 것.
• 기저 위에서의 대수적 텐서곱의 완비화를 통해 힐버트 C*-모듈러스의 상대적 텐서곱을 정의하며, 섬유별 텐서곱으로의 분해를 이용하는 것.
• 이중모듈러스 표현에서 상대적 텐서곱의 반대편의 반대편을 이용하여 공간적 섬유곱 $ A times_{eta}^{lat} B $ 를 구성하는 것.
• 상대적 텐서곱 $ H times_{eta}^{lat} K $ 과 섬유곱 공간 $ X imes_Z Y $ 위의 L²-공간 사이에 유니터리 동치를 확립하는 것.
• Radon 측도와 섬유별 적분을 사용하여 섬유곱 공간 $ X imes_Z Y $ 위의 측도 $ \nu $ 를 정의하여 모듈러스 구조와의 호환성을 확보하는 것.
• 섬유별 사상에 대해 강한-* 연속성 조건을 적용하여, 섬유곱 대수를 대수적 텐서곱의 진정한 확장으로 특성화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes의 대응관계 융합을 C*-대수 맥락으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 von Neumann 대수에서의 Sauvageot의 섬유곱의 적절한 C*-대수 맥락에서의 대응은 무엇인가?
• RQ3 양자 군oids의 곱셈 구조를 포괄하는 C*-이중모듈러스의 상대적 텐서곱을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 일반적으로 C*-대수의 공간적 섬유곱이 대수적 텐서곱보다 진짜로 큰가?
• RQ5 섬유곱 공간 위의 함수가 공간적 섬유곱 대수에 속하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 상대적 텐서곱 $ H times_{eta}^{lat} K $ 과 L²-공간 $ L^2(X imes_Z Y, \nu) $ 사이에 유니터리 동치가 확립되며, 여기서 $ \nu $ 는 섬유별 곱 측도이다.
• 공간적 섬유곱 $ C_0(X) times_{eta}^{lat} C_0(Y) $ 는 $ X \times_Z Y $ 위의 유계 함수의 C*-대수와 동형이며, 그 섬유별 제한이 강한-* 연속적이며 무한에서 0으로 수렴하는 함수들로 구성된다.
• 이산적인 경우 $ Z = \{0\} $ 일 때, 섬유곱은 유계 함수 $ f \in C_b(X \times Y) $ 에 대해 $ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $ 이고 $ f(\cdot, y) \in C_0(X) $ 를 만족하는 함수들로 구성된다.
• $ X = \mathbb{N} $, $ Y = [0,1] $, $ Z = \{0\} $ 일 때, 섬유곱은 함수 $ f \in C_b(\mathbb{N} \times Y) $ 에 대해 $ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $ 이고, 가중치 $ (f(x, \cdot))_x $ 가 $ \mathcal{L}(L^2(Y)) $ 에서 강하게 0으로 수렴하는 함수들로 구성된다.
• $ [0,1] \times [0,1] $ 위에서 $ f(x,y) = \chi_{\{y \leq x\}} $ 인 함수는 섬유곱 $ C([0,1]) \rtimes_{\beta}^{lat} C([0,1]) $ 에 속하며, 이는 섬유곱이 대수적 텐서곱 $ C([0,1]) \otimes C([0,1]) $ 를 진짜로 포함함을 보여준다.