[논문 리뷰] Coframe geometry and gravity

Yakov Itin|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 27.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 n차원 다양체 위에서 코프레임 필드에 기반한 중력 모델의 기하학적 기반을 구축하기 위해 선형 코프레임 접속의 완전한 클래스를 구성함으로써 코프레임 중력의 기하학적 공식화를 제안한다. 주요 기여는 일반 코프레임 접속을 사용한 일반화된 아이ン슈타인-힐버트 작용으로, 이는 표준 코프레임 라그랑지안과 전적으로 동일한 스칼라 곡률을 갖는다. 이는 전체 도함수의 차이를 제외하고 동일하며, 일부 하위클래스의 접속은 고차 도함수 항이 없고 완전한 등가성을 보인다.

ABSTRACT

The possible extensions of GR for description of fermions on a curved space, for supergravity and for loop quantum gravity require a richer set of 16 independent variables. These variables can be assembled in a coframe field, i.e., a local set of four linearly independent 1-forms. In the ordinary formulation, the coframe gravity does not have any connection to a specific geometry even being constructed from the geometrical meaningful objects. A geometrization of the coframe gravity is an aim of this paper. We construct a complete class of the coframe connections which are linear in the first order derivatives of the coframe field on an $n$ dimensional manifolds with and without a metric. The subclasses of the torsion-free, metric-compatible and flat connections are derived. We also study the behavior of the geometrical structures under local transformations of the coframe. The remarkable fact is an existence of a subclass of connections which are invariant when the infinitesimal transformations satisfy the Maxwell-like system of equations. In the framework of the coframe geometry construction, we propose a geometrical action for the coframe gravity. It is similar to the Einstein-Hilbert action of GR, but the scalar curvature is constructed from the general coframe connection. We show that this geometric Lagrangian is equivalent to the coframe Lagrangian up to a total derivative term. Moreover there is a family of coframe connections which Lagrangian does not include the higher order terms at all. In this case, the equivalence is complete.

연구 동기 및 목표

• 코프레임 중력 모델에서 기하학적 구조의 부족 문제를 해결함으로써, 외부 기하학적 의미 없이 물리적 라그랑지안에 의존하는 모델을 개선하고자 한다.
• 메트릭이 있거나 없거나의 n차원 다양체 위에서 코프레임 필드의 일阶 도함수에 선형인 완전한 코프레임 접속의 클래스를 구성하고자 한다.
• 비틀림이 없는, 메트릭에 호환되는, 또는 평탄한 하위클래스의 접속을 식별하고, 그 기하학적 및 물리적 성질을 분석하고자 한다.
• 일반 상대성 이론의 아이인슈타인-힐버트 작용과 유사한 코프레임 중력의 기하학적 작용을 수립함으로써, 표준 코프레임 라그랑지안과 전적으로 동일한 결과를 도출하고자 한다.
• 무한소 변환에 대해 맥스웰 유사 시스템을 만족하는 변환에 대해 불변인 코프레임 접속의 하위클래스를 식별함으로써, 더 깊은 기하학적 및 물리적 의미를 밝혀내고자 한다.

제안 방법

• n차원 다양체 위에서 코프레임 필드의 일阶 도함수에 선형인 일반적인 코프레임 접속의 클래스를 구성한다.
• 코프레임 접속의 비틀림 텐서와 비메트릭성 텐서를 유도하고, 비틀림이 없는 및 메트릭에 호환되는 조건을 규명한다.
• 일반 코프레임 접속에서 구성된 스칼라 곡률을 사용하여 일반화된 아이인슈타인-힐버트 라그랑지안을 도입한다.
• 기하학적 라그랑지안이 전체 도함수의 차이를 제외하고 표준 코프레임 라그랑지안과 동일하다는 것을 입증한다.
• 고차 도함수 항이 없는 라그랑지안을 갖는 코프레임 접속의 가족을 식별하여 표준 모델과 완전한 등가성을 확보한다.
• 국소 코프레임 변환 하에서 기하학적 구조의 행동을 분석하고, 맥스웰 유사 시스템의 방정식을 만족하는 변환에 대해 불변인 하위클래스를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭이나 사전 정의된 접속에 의존하지 않고, 코프레임 필드만으로 일관된 기하학적 구조를 구축할 수 있는가?
• RQ2 메트릭이 있거나 없거나의 다양체 위에서 정의할 수 있는 선형 코프레임 접속의 완전한 클래스는 무엇이며, 그들의 곡률, 비틀림, 비메트릭성 성질은 어떠한가?
• RQ3 일반 상대성 이론의 아이인슈타인-힐버트 작용과 유사한 코프레임 중력의 기하학적 작용은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 기하학적 라그랑지안이 표준 코프레임 라그랑지안과 동일한 조건은 언제이며, 고차 도함수 항이 없는 경우는 언제인가?
• RQ5 로컬 변환에 대해 맥스웰 유사 시스템을 만족하는 코프레임 접속의 하위클래스가 존재하는가? 그리고 이는 기하학적 구조에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 메트릭이 있거나 없거나의 n차원 다양체 위에서 코프레임 필드의 일阶 도함수에 선형인 완전한 코프레임 접속의 클래스가 구성되었다.
• 일반적 구성에서 비틀림이 없는, 메트릭에 호환되는, 평탄한 접속의 하위클래스가 유도되었으며, 이는 기하학적 일관성 조건을 제공한다.
• 일반 코프레임 접속을 기반으로 한 일반화된 아이인슈타인-힐버트 라그랑지안은 전체 도함수의 차이를 제외하고 표준 코프레임 라그랑지안과 동일하다는 것이 입증되었다.
• 기하학적 라그랑지안에 고차 도함수 항이 없는 특정한 코프레임 접속의 가족이 존재하며, 이는 표준 모델과 완전한 등가성을 보장한다.
• 맥스웰 유사 시스템의 방정식을 만족하는 변환에 대해 불변인 접속의 하위클래스가 존재하며, 이는 깊은 기하학적 및 가능성을 지닌 물리적 대칭성을 시사한다.
• 모델은 타당한 색삭스터 해와 잘 정의된 중력 에너지 텐서를 도출하여 표준 일반 상대성 이론의 주요 한계를 해결한다.