[논문 리뷰] Cohomological representations of parahoric subgroups

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소체 위의 재수성군의 초특수에서 임의의 파라호릭 부분군으로 Lusztig의 표현에 대한 코homological 구성법을 일반화한다. 토르스와 유니포텐트 라디칼에 관련된 딜레냐-루스지 타입의 다양체의 코homology를 통해 가상 표현을 정의하고, 일반성 조건 하에서의 기약성과 딜레냐-루스지 추적 공식을 사용하여 무분할 매우 정규 원소에 대한 특성 공식을 계산한다.

ABSTRACT

We generalize a cohomological construction of representations due to Lusztig from the hyperspecial case to arbitrary parahoric subgroups of a reductive group over a local field, which splits over an unramified extension. We compute the character of these representations on certain very regular elements.

연구 동기 및 목표

• 국소체 위의 재수성군의 초특수에서 임의의 파라호릭 부분군으로 Lusztig의 코homological 표현 구성법을 확장한다.
• 잔여체 위의 다양체의 타워를 정의하고, 그 코homology가 파라호릭 부분군 $P(\mathcal{O}_k)$의 표현을 실현하도록 한다.
• 이 표현들의 특성을 무분할 매우 정규 원소에서 계산하고, 고전적 딜레냐-루스지 특성 공식을 일반화한다.
• 구성된 표현이 보조 선택(예: 보렐 부분군)에 영향을 받지 않고 기약임을 보장하는 조건을 확립한다.

제안 방법

• 재수성군의 특수 섬유의 재수성 몫인 $\mathbb{G}$에서, $g \mapsto g^{-1}\sigma(g)$인 랭 지ap에 대한 $\mathbb{U}$의 역상인 스킴 $S_{T,U} \subset \mathbb{G}$를 구성한다.
• 코efficient가 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$인 $S_{T,U}$의 코homology 군들의 교대합의 $\theta$-동형성 부분공간으로서 가상의 $P(\mathcal{O}_k)$-표현 $R_{T,U}^\theta$를 정의한다.
• 무분할 매우 정규 원소의 추적을 계산하기 위해 딜레냐-루스지 고정점 공식을 사용하여, 군 작용의 고정점 집합으로 문제를 환원한다.
• 원소를 $p$-거듭제곱 부분과 $p$-소 부분으로 분해하여 추적 공식의 기여를 분리하고, $\breve{T}_r^\sigma$의 구조를 활용한다.
• 고정점 집합 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$가 비어 있지 않게 되는 것은, $Z^0(g)$의 $T$의 웨일 군 내의 $\sigma$-불변 원소 $w$에 대해 $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$인 경우에 한하여 성립함을 증명한다.
• 웨일 군에서 $\theta$의 안정자(subgroup)가 자명할 경우, $\pm R_{T,U}^\theta$가 $P(\mathcal{O}_k)$의 기약 표현임을 보이며, Lusztig의 원래 방법의 일반화를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 $R_{T,U}^\theta$가 보렐 부분군 $U$의 선택에 의존하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 표현 $R_{T,U}^\theta$가 언제 기약이며, 웨일 군 내에서 $\theta$의 안정자 역할은 무엇인가?
• RQ3 무분할 매우 정규 원소에서 $R_{T,U}^\theta$의 특성을 명시적으로 계산할 수 있으며, 이는 웨일 군 작용과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 비재수성 파라호릭에 대해, 딜레냐-루스지 타입 다양체 $S_{T,U}$의 코homology가 $P(\mathcal{O}_k)$의 표현을 어떻게 실현하는가?
• RQ5 원소 $g \in P(\mathcal{O}_k)$ 작용 하에서 고정점 집합 $S_{T,U}^{(g,\mathbb{T})}$의 기하학적 및 산술적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 표현 $R_{T,U}^\theta$는 $\theta$가 충분히 일반적일 경우 보렐 부분군 $U$의 선택에 영향을 받지 않는다.
• 특수 섬유의 파라호릭 부분군의 웨일 군에서 $\theta$의 안정자가 자명할 경우, $\pm R_{T,U}^\theta$는 $P(\mathcal{O}_k)$의 기약 표현이다.
• 무분할 매우 정규 원소 $g$에서 표현의 특성은 $\operatorname{Tr}(g, R_{T,U}^\theta) = \sum_{w \in W_{\mathbf{x}}(T,Z^\circ(g))^{\sigma}} (\theta \circ \mathrm{Ad}(w^{-1}))(g)$로 주어진다.
• 고정점 집합 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$가 비어 있지 않게 되는 것은, $Z^0(g)$의 $T$의 웨일 군 내에서 유일한 $\sigma$-불변 원소 $w$에 대해 $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$인 경우에 한하여 성립한다.
• 추적 계산은 $g$와 $\tau$를 $p$-거듭제곱 부분과 $p$-소 부분으로 분해함으로써 이루어지며, 이는 $\breve{T}_r^\sigma$ 위에서 평균화함으로써 딜레냐-루스지 추적 공식을 적용할 수 있게 한다.
• $(t_1, \tau_1)$의 작용은 $\tau_1 = \mathrm{Ad}(w^{-1})(t_1^{-1})$일 경우에만 비자명한 기여를 하며, 이 경우 추적 값은 $\# \breve{T}_r^\sigma$가 된다.