[논문 리뷰] Affine Deligne-Lusztig varieties at infinite level

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\operatorname{GL}_n$의 내형에 대해 무한 수준의 아핀 덜레인-류스티그 다양체와 루스티그의 준무한 덜레인-류스티그 구성 간의 이somorphism을 확립하여, 그 호몰로지가 비분비적 확장에서 유도된 초임계표현에 대한 국지 리만-랑글랜즈 및 자크-랑글랜즈 대응을 실현함을 증명한다. 이는 루스티그가 1979년에 제기한 초임계성과 대수기하학적 구조에 관한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We initiate the study of affine Deligne-Lusztig varieties with arbitrarily deep level structure for general reductive groups over local fields. We prove that for GLn and its inner forms, Lusztig's semi-infinite Deligne-Lusztig construction is isomorphic to an affine Deligne-Lusztig variety at infinite level. We prove that their homology groups give geometric realizations of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences in the setting that the Weil parameter is induced from a character of an unramified field extension. In particular, we resolve Lusztig's 1979 conjecture in this setting for minimal admissible characters.

연구 동기 및 목표

• Lusztig의 준무한 덜레인-류스티그 구성과 $\operatorname{GL}_n$의 내형에 대해 무한 수준의 아핀 덜레인-류스티그 다양체 사이의 이somorphism을 확립한다.
• 비분비적 체 확장에서 유도된 초임계표현에 대한 국지 리만-랑글랜즈 대응의 기하적 실현을 제공한다.
• 무한 수준의 다양체의 호몰로지를 이용해 자크-랑글랜즈 대응을 기하학적으로 확장한다.
• 최소 적응 특성에 대해 루스티그의 1979년 추측인 대수기하학적 구조와 초임계성에 대한 문제를 해결한다.

제안 방법

• 준무한 덜레인-류스티그 집합과 유한 수준 아핀 덜레인-류스티그 다양체의 역극한 사이에 명시적 이somorphism을 구성한다.
• 유한 수준 아핀 덜레인-류스티그 다양체의 알려진 스킴 구조를 이용해 준무한 쪽에 자연스러운 스킴 구조를 정의한다.
• 유한환 위의 재조합군이 아닌 파라호릭 부분군의 몫에 대해 루스티그의 특성 방법을 일반화하여 초임계성을 증명한다.
• 덜레인-류스티그 고정점 공식을 적용해 최대 비분비적 타원 토리에서의 특성을 계산한다.
• 헤니아르트의 자동형 유도 특성에 기반해 기하학적 표현을 리만-랑글랜즈 매개변수와 매칭한다.
• 맥케이 기준과 파라호릭 부분군으로의 제약을 활용하여 호몰로지 공간의 소멸을 통해 표현의 기약성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루스티그의 준무한 덜레인-류스티그 구성은 $\operatorname{GL}_n$의 내형에 대해 무한 수준의 아핀 덜레인-류스티그 다양체와 이somorphic한가?
• RQ2 무한 수준 아핀 덜레인-류스티그 다양체의 호몰로지가 초임계표현에 대한 국지 리만-랑글랜즈 대응을 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ3 최소 적응 특성의 경우 이 구성이 자크-랑글랜즈 대응을 실현하는가?
• RQ4 이 이somorphism을 통해 준무한 덜레인-류스티그 집합은 자연스러운 스킴 구조를 지니는가?
• RQ5 이 구성에서 유도된 표현들은 루스티그의 1979년 추측에서 예측한 바와 같이 기약적이고 초임계적인가?

주요 결과

• 모든 $\operatorname{GL}_n$의 내형에 대해 준무한 덜레인-류스티그 집합은 유한 수준 아핀 덜레인-류스티그 다양체의 역극한과 이somorphic하다.
• 무한 수준 다양체는 유한 수준 아핀 덜레인-류스티그 다양체로부터 자연스러운 스킴 구조를 물려받으며, 이는 루스티그의 대수기하학적 추측을 해결한다.
• 무한 수준 다양체의 호몰로지 군은 비분비적 체 확장에서 유도된 초임계표현에 대한 국지 리만-랑글랜즈 대응을 실현한다.
• 최소 적응 특성에 대해 자크-랑글랜즈 대응의 기하적 실현을 제공한다.
• $\theta \in \mathscr{X}^{\rm min}$ 이면 표현 $|R_T^G(\theta)|$ 는 기약적임을 확인하여, 루스티그의 추측에서의 초임계성을 확인한다.
• 기약성의 증명은 파라호릭 부분군으로의 제약을 통해 $\operatorname{Hom}_{\gamma ZG_{\mathcal{O}} \gamma^{-1} \cap ZG_{\mathcal{O}}}( |R_T^G(\theta)|, {}^\gamma|R_T^G(\theta)| ) = 0$ 이 성립함을 보여 이로부터 유도된다.