[논문 리뷰] Comparing the stochastic nonlinear wave and heat equations: a case study

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto|Edinburgh Research Explorer (University of Edinburgh)|2019. 08. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 48인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색소음의 분수계 도함수로 강제되는 제곱비선형성을 가진 확률적 비선형 파동방정식(SNLW)과 확률적 비선형 열방정식(SNLH)을 비교한다. SNLW는 α = 1/2에서 두 번째 차수의 확률적 항의 불연속성으로 인해 α = 1/2에서 악성화되며, SNLH는 α = 1까지 잘 정의된 상태를 유지함으로써, 거친 소음 조건 하에서 SNLW는 SNLH보다 열악한 성질을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

We study the two-dimensional stochastic nonlinear wave equation (SNLW) and stochastic nonlinear heat equation (SNLH) with a quadratic nonlinearity, forced by a fractional derivative (of order $α> 0$) of a space-time white noise. In particular, we show that the well-posedness theory breaks at $α= \frac 12$ for SNLW and at $α= 1$ for SNLH. This provides a first example showing that SNLW behaves less favorably than SNLH. (i) As for SNLW, Deya (2020) essentially proved its local well-posedness for $0 < α< \frac 12$. We first revisit this argument and establish multilinear smoothing of order $\frac 14$ on the second order stochastic term in the spirit of a recent work by Gubinelli, Koch, and Oh (2018). This allows us to simplify the local well-posedness argument for some range of $α$. On the other hand, when $α\geq \frac 12$, we show that SNLW is ill-posed in the sense that the second order stochastic term is not a continuous function of time with values in spatial distributions. This shows that a standard method such as the Da Prato-Debussche trick or its variant, based on a higher order expansion, breaks down for $α\ge \frac 12$. (ii) As for SNLH, we establish analogous results with a threshold given by $α= 1$. These examples show that in the case of rough noises, the existing well-posedness theory for singular stochastic PDEs breaks down before reaching the critical values ($α= \frac 34$ in the wave case and $α= 2$ in the heat case) predicted by the scaling analysis (due to Deng, Nahmod, and Yue (2019) in the wave case and due to Hairer (2014) in the heat case).

연구 동기 및 목표

• 거친 소음에 의해 강제되는 경우, 확률적 비선형 파동방정식(SNLW)의 해 이론이 확률적 비선형 열방정식(SNLH)의 해 이론과 일치하는지 조사하는 것.
• 공간-시간 백색소음의 분수계 도함수로 강제될 때 SNLW와 SNLH의 잘 정의됨 조건에 대한 임계 정규화 임계값 α를 결정하는 것.
• 초등형 설정에서 표준 잘 정의됨 기법(예: Da Prato-Debussche 기법)이 붕괴되는 이유를 분석하는 것.
• α < 1/2일 때 국소적으로 잘 정의됨을 증명하는 데 도움이 되는 SNLW의 두 번째 차수의 확률적 항에 대한 다항형 스무딩을 확립하는 것.
• SNLW의 잘 정의됨 임계값이 스케일링 예측값(α = 3/4) 이전에 발생함을 보여주어, 파arabolic 경우보다 더 심각한 붕괴가 발생함을 나타내는 것.

제안 방법

• 두 번째 차수의 확률적 항을 분리하기 위해, 파라컨트롤 계산법과 확률적 전개를 사용하여 SNLW와 SNLH를 재구성하는 것.
• Gubinelli, Koch, Oh(2018)의 영감을 얻어, SNLW의 두 번째 차수의 확률적 항에 대해 순서 1/4의 다항형 스무딩 추정을 적용하여 국소적으로 잘 정의됨을 증명하는 데 기여하는 것.
• 비선형 상호작용을 제어하기 위해 베소프 공간 추정과 파라프로덕트 분해를 사용하는 것.
• 스토케스틱 물체의 정규성을 분석하기 위해 이산 콘볼루션 추정과 선형 확률적 추정을 사용하는 것.
• 위너 카시 전개를 통해 관련된 확률적 물체를 구성하고 그 수렴 성질을 분석하는 것.
• SNLW의 경우 α ≥ 1/2일 때 시간에 대한 값이 공간 분포에서 연속적이지 않음을 보여주는 방식으로 악성화됨을 입증하는 것. SNLH의 경우 α ≥ 1일 때 유사한 붕괴가 발생함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α > 0일 때 거친 소음에 의해 강제될 경우, SNLW의 해 이론이 SNLH의 해 이론과 일치하는가?
• RQ2 SNLW가 악성화되기 시작하는 임계값 α는 무엇인가?
• RQ3 α ≥ 1/2일 때 표준 Da Prato-Debussche 기법이 SNLW에서는 실패하는 이유는 무엇이며, SNLH에서는 α = 1까지 효과를 유지하는가?
• RQ4 SNLW의 두 번째 차수의 확률적 항에 대한 다항형 스무딩이 잘 정의됨 임계값에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 SNLW의 잘 정의됨 임계값이 스케일링 예측값(α = 3/4) 이전에 발생하는가? 이는 파라볼릭 경우보다 더 심각한 붕괴를 나타내는가?

주요 결과

• SNLW는 0 < α < 1/2일 때 국소적으로 잘 정의되며, 순서 1/4의 다항형 스무딩 덕분에 증명이 단순화됨.
• α ≥ 1/2일 때 SNLW는 두 번째 차수의 확률적 항이 공간 분포 값에 대해 시간에 대해 연속적이지 않기 때문에 악성화됨.
• SNLH는 α < 1일 때 잘 정의되며, α = 1일 때 유사한 확률적 항의 정규성 붕괴로 인해 악성화됨.
• SNLW의 잘 정의됨 임계값(α = 1/2)은 스케일링 예측값(α = 3/4) 이전에 발생함을 보여주어, 예상보다 더 나쁜 행동을 보임.
• SNLH의 잘 정의됨 임계값(α = 1) 역시 스케일링 예측값(α = 2) 이전에 발생하지만, SNLW의 붕괴는 더 심각함.
• 이 연구는 거친 소음 조건 하에서 SNLW가 SNLH보다 열악한 성질을 보이는 첫 번째 사례를 제공하며, 쌍곡형 및 포물형 특이 스토케스틱 PDE의 해 이론 간의 근본적인 차이를 부각함.