[논문 리뷰] Probabilistic local well-posedness of the cubic nonlinear wave equation in negative Sobolev spaces

Tadahiro Oh, Oana Pocovnicu외 1명|Edinburgh Research Explorer (University of Edinburgh)|2019. 04. 15.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 49인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 스케일 임계 정규성 이하의 음의 소볼레프 공간에서 비집중 제곱 비선형파방정식(cubic nonlinear wave equation, NLW)의 거의확실한 국소적 잘정의성(local well-posedness)을 무작위 초기 자료를 사용한 확률적 방법으로 증명한다. 결정론적 불량정성(deterministic ill-posedness)이 정규성 s < 1/2 에서 발생하더라도, 초기 자료를 무작위화하면 해가 거의확실하게 잘 정의됨을 보이며, 이는 이차 전개(second-order expansion)와 재정규화(renormalization)를 통해 이루어진다; 또한 재정규화 없이 해가 무작위 초기 자료를 부드럽게 함에 따라 분포상으로 0으로 수렴함을 보여, 비어있는 현상(triviality phenomenon)을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We study the three-dimensional cubic nonlinear wave equation (NLW) with random initial data below $L^2(\mathbb{T}^3)$. By considering the second order expansion in terms of the random linear solution, we prove almost sure local well-posedness of the renormalized NLW in negative Sobolev spaces. We also prove a new instability result for the defocusing cubic NLW without renormalization in negative Sobolev spaces, which is in the spirit of the so-called triviality in the study of stochastic partial differential equations. More precisely, by studying (un-renormalized) NLW with given smooth deterministic initial data plus a certain truncated random initial data, we show that, as the truncation is removed, the solutions converge to $0$ in the distributional sense for any deterministic initial data.

연구 동기 및 목표

• 제곱 비선형파방정식(NLW)의 국소적 잘정의성을 스케일 임계 정규성 s = 1/2 이하의 음의 소볼레프 공간으로 확장하기.
• 정규성 s < 1/2 인 H^s 초기 자료에 대해 NLW의 불량정성을 무작위 초기 자료를 도입하고 매개수 α를 사용하여 다루기.
• α > 3/2 일 때, 재정규화된 NLW가 H^s 공간에서 s < α − 3/2 에 대해 거의확실한 국소적 잘정의성을 확립하기.
• 새로운 불안정성 결과 증명: 부드러운 결정론적 초기 자료에 더해 절단된 무작위 자료를 가진 비재정규화된 NLW는 절단을 제거함에 따라 분포상으로 0으로 수렴함.
• 비재정규화된 NLW의 극한 역학이 음의 소볼레프 공간에서 비어있다는 것을 보여주며, 확률적 PDE에서의 비어있는 현상과 일치함.

제안 방법

• 실수값을 갖도록 조건화된 i.i.d. 가우시안 계수를 갖는 푸리에 급수를 통해 무작위 초기 자료를 구성하며, 정규성 매개수 α를 사용한다.
• 이차 전개를 통해 해를 z1(선형 무작위 부분), z2(이차 무작위 항), wN(잔여항)으로 분해한다.
• 저정규성의 무작위 초기 자료에서 발생하는 발산을 제어하기 위해 비선형항에 재정규화를 적용한다.
• 혼합-norm 공간에서의 무작위 항을 제어하기 위해 위너 카오스 추정과 매개수를 포함한 스트리카르츠 유사 추정을 사용한다.
• 두함수의 형태와 그린발라의 표현식 및 그로워랄 유사 추론을 통해 X_T 및 L^∞_T H^1/2_x 공간에서 사전 추정을 유도한다.
• 비판적 경우 α = 3/2 에서 오차항의 수렴성 증명을 위해 부분수열 추론을 사용하여 오차항의 합산 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정론적 잘정의성이 실패할 경우, 음의 소볼레프 공간에서 제곱 비선형파방정식이 거의확실하게 잘정의될 수 있는가?
• RQ2 저정규성의 무작위 초기 자료를 가진 NLW에 대해 재정규화가 해 매핑에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 무작위 초기 자료를 음의 소볼레프 공간에서 매끄럽게 하였을 때, 비재정규화된 NLW는 극한 역학이 비어있는가?
• RQ4 L^2(T^3) 이하로 무작위화된 초기 자료를 가질 경우 해의 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 확률적 방법을 통해 스케일 임계 정규성 s = 1/2 이하에서 잘정의성이 복원될 수 있는가?

주요 결과

• α > 3/2 일 때, 재정규화된 제곱 NLW가 H^s(T^3)에서 s < α − 3/2 에 대해 거의확실한 국소적 잘정의성을 확립하였다.
• s < 1/2 일지라도 이차 전개와 재정규화를 통해 해 매핑이 거의확실하게 잘 정의됨을 보였다.
• 비재정규화된 NLW의 경우, 부드러운 결정론적 초기 자료에 더해 절단된 무작위 자료를 가진 해는 절단 매개수 N → ∞ 일 때 분포상으로 0으로 수렴한다.
• 잔여항 eR(T)의 수렴 속도는 확률 1 − C exp(−c/T^κ) 초과일 때 C^{-δ}_N T^θ 로 유계함을 보이며, 빠른 감쇠를 나타낸다.
• 비판적 경우 α = 3/2 에서는 오차항의 합산 가능성을 보장하기 위해 충분히 빠르게 성장하는 부분수열 {N_k}를 사용하여 수렴을 확립하였다.
• 비어있는 결과는 비재정규화된 NLW의 극한 역학이 음의 소볼레프 공간에서 비어있다는 것을 확인하며, 확률적 PDE에서의 현상과 일치한다.