[논문 리뷰] Comparison of viscosity solutions of fully nonlinear degenerate parabolic Path-dependent PDEs

Zhenjie Ren, Nizar Touzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Jensen, Lions, Souganidis의 영감을 받은 정규화 방법을 사용하여 완전 비선형이고 퇴화 가능한 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성해에 대한 비교 원리를 수립한다. 해와 비선형성에 대해 L^p 유형의 연속성 조건을 도입함으로써 퇴화 및 1차 경로에 의존하는 편미분방정식을 다룰 수 있게 되었으며, 유한차원 편미분방정식 결과에 의존하지 않음으로써 이전 증명을 크게 단순화시켰다.

ABSTRACT

We prove a comparison result for viscosity solutions of (possibly degenerate) parabolic fully nonlinear path-dependent PDEs. In contrast with the previous result in Ekren, Touzi & Zhang, our conditions are easier to check and allow for the degenerate case, thus including first order path-dependent PDEs. Our argument follows the regularization method as introduced by Jensen, Lions & Souganidis in the corresponding finite-dimensional PDE setting. The present argument significantly simplifies the comparison proof in Ekren, Touzi & Zhang, but requires an $L^p-$type of continuity (with respect to the path) for the viscosity semi-solutions and for the nonlinearity defining the equation.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형적이고 가능하게 퇴화 가능한, 시간에 의존하는 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성해에 대한 비교 원리를 수립하는 것.
• Ekren, Touzi & Zhang (2014)의 이전 작업에서 요구된 기술적 조건을 완화함으로써, 특히 퇴화 가능성과 검증 조건의 단순화를 가능하게 하는 것.
• Jensen, Lions, Souganidis의 정규화 방법을 경로에 의존하는 설정에 적응시켜 증명 전략을 개발하는 것.
• 존재 이론에 종속되지 않는 비교 결과를 확보함으로써, Perron의 방법과 수치적 스킴의 수렴 분석을 가능하게 하는 것.
• 이전 조건으로 인해 제외되었던 1차 경로에 의존하는 편미분방정식까지 포함하는 잘 정의된 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• Jensen, Lions, Souganidis의 정규화 방법을 경로에 의존하는 편미분방정식 설정에 확장하기 위해 확률적 프레임워크를 사용한다.
• 해와 비선형성 G가 경로 변수에 대해 L^p 유형의 연속성 조건을 만족하도록 제약을 둔다.
• 동적 프rogramming 공식을 사용하여 d_p 거리에서 해의 균일 연속성을 추정한다.
• 확률적 미분방정식의 추정과 그로울랄 부등식을 사용하여 초기 경로의 변화에 대한 해의 민감도를 통제한다.
• P-점별 미분 가능성의 개념을 도입하여 Caffarelli & Cabré의 개념을 경로에 의존하는 설정으로 확장한다.
• 유한차원 편미분방정식 결과에 의존하지 않고, 정규화된 시험 함수에 대한 극한 근사에 의해 비교를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ekren, Touzi & Zhang (2014)의 조건보다 더 약한 조건 하에서 완전 비선형적이고 퇴화 가능한 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성해에 대해 비교 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 유한차원 점성해 이론에서 유래한 정규화 방법이 L^p 유형 연속성 조건 하에서 경로에 의존하는 설정으로 확장 가능한가?
• RQ3 비교 결과를 존재 이론에 종속되지 않게 만들 수 있는가? 이를 통해 Perron의 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ4 P-점성해의 클래스는 1차 경로에 의존하는 편미분방정식을 충분히 포함할 수 있는가?
• RQ5 경로에 의존하는 편미분방정식에서 비교를 증명하는 데 있어 P-점별 미분 가능성의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 완전 비선형적이고 가능하게 퇴화 가능한, 시간에 의존하는 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성해에 대해 L^p 유형 연속성 조건 하에서 비교 원리를 수립한다.
• 이전의 증명을 유한차원 편미분방정식으로의 축소 없이 단순화함으로써 기술적 복잡성을 크게 감소시켰다.
• 이 방법은 이전 작업에서 퇴화 제약으로 인해 제외되었던 1차 경로에 의존하는 편미분방정식까지 포함할 수 있게 되었다.
• 동적 프로그래밍을 통해 정의된 해 u는 d_p 유일 연속성을 띠며, σ의 리프시츠 상수와 시간 영역에 따라 명시적인 상한을 가진다.
• 추정식 |u(t,ω) - u(t',ω)| ≤ ρ((1 + ˜C^{1/2p})((T+1)Ĉ)^{1/p} (t'−t)^{1/2}) 는 시간에 대해 1/2 지수의 허더 연속성을 보여준다.
• 결과는 적절한 적분 가능성 조건을 만족하는 P-점성해 하위해가 거의 어디서나 Lebesgue⊗P₀-거의 어디서나 P-점별 미분 가능하다는 것을 확인한다. 이는 증명의 핵심 기술적 도구이다.