[논문 리뷰] Complexity of Fractran and Productivity

Jörg Endrullis, Clemens Grabmayer외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 25.

Catalysis and Oxidation ReactionsChemical Engineering인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 기능형 프로그래밍에서 생산성의 계산 복잡도를 규명하기 위해 프랙트란 프로그램을 스트림 사양으로 인코딩함으로써, 외부 최상위 정당 평가 하에서 생산성은 Π⁰₂-완전하다고 증명한다. 또한 일반화된 생산성 개념—강한 생산성과 약한 생산성—의 분석적 복잡도가 각각 Π¹₁ 완전성과 Σ¹₁ 완전성에 이르며, 이는 생산성이 표현력 면에서 종료성보다 더 어렵다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In functional programming languages the use of infinite structures is common practice. For total correctness of programs dealing with infinite structures one must guarantee that every finite part of the result can be evaluated in finitely many steps. This is known as productivity. For programming with infinite structures, productivity is what termination in well-defined results is for programming with finite structures. Fractran is a simple Turing-complete programming language invented by Conway. We prove that the question whether a Fractran program halts on all positive integers is Pi^0_2-complete. In functional programming, productivity typically is a property of individual terms with respect to the inbuilt evaluation strategy. By encoding Fractran programs as specifications of infinite lists, we establish that this notion of productivity is Pi^0_2-complete even for the most simple specifications. Therefore it is harder than termination of individual terms. In addition, we explore possible generalisations of the notion of productivity in the framework of term rewriting, and prove that their computational complexity is Pi^1_1-complete, thus exceeding the expressive power of first-order logic.

연구 동기 및 목표

• 기능형 프로그래밍에서 무한 데이터 구조를 포함한 생산성의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 모두가 프로그램의 정확성에 필수적인 종료성과 비교해 생산성이 더 결정하기 어려운지 조사하는 것.
• 표준 평가 전략을 초월한 생산성의 일반화된 개념을 탐색하고 그 논리적 복잡도를 분석하는 것.
• 복잡도의 하한을 확보하기 위해 프랙트란 프로그램을 스트림 사양으로 간단하고 새로운 방식으로 인코딩하는 것.

제안 방법

• 기본 스트림 생성자와 head, tail, mod 등의 함수만을 사용하여, 지연 스트림 형식(LSF)으로 프랙트란 프로그램을 스트림 사양으로 인코딩하는 것.
• 각 프랙트란 분수에 대응하는 조건부 재작성 규칙을 모듈로 산술과 스트림 인덱싱을 기반으로 하는 용어 재작성 시스템(TRS)을 정의하는 것.
• 정수를 스트림 위치로 매핑하기 위해 모듈로 산술을 사용하여 프랙트란의 곱셈과 선택 과정을 시뮬레이션하는 것.
• 프랙트란 프로그램이 모든 입력에서 정지하는 것과 해당 스트림 사양이 외부 최상위 정당 평가 하에서 생산적인 것 사이의 이분법을 증명하는 것.
• 균일한 정지 문제를 생산성 문제로 감소시켜 Π⁰₂-난이도를 입증하는 것.
• 강한 생산성과 약한 생산성으로의 분석 확장을 통해 각각 분석 계층 내에서 Π¹₁ 완전성과 Σ¹₁ 완전성에 도달함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능형 프로그래밍에서의 생산성은 결정 가능할까? 그 정확한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 용어 재작성 시스템에서 생산성의 복잡도는 종료성의 복잡도와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 프랙트란을 사용해 생산성 복잡도의 하한을 규명하는 데에 사용될 수 있는가?
• RQ4 강한 생산성과 약한 생산성과 같은 일반화된 생산성 개념의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 프랙트란에서 유도된 간단한 스트림 사양의 생산성은 결정 불가능하거나 분석적으로 복잡한가?

주요 결과

• 모든 양의 정수에 대해 프랙트란 프로그램이 정지하는지 여부를 판단하는 문제는 Π⁰₂-완전하다.
• 외부 최상위 정당 평가 하에서의 생산성 역시 매우 단순한 스트림 사양에서도 Π⁰₂-완전하다.
• 모든 외부 최상위 정당 순서가 생성자 정규형에 도달하도록 요구하는 강한 생산성은 Π¹₁-완전하다.
• 해당 순서가 존재하기만 하면 되는 약한 생산성은 Σ¹₁-완전하다.
• 프랙트란을 스트림 사양으로 인코딩하는 과정에서 정지 행동과 생산성이 유지되어 복잡도 전이가 가능하다.
• 결과적으로 생산성이 종료성보다 더 복잡하며, 이는 산술 계층에서 더 높은 위치에 있음을 보여준다.