[논문 리뷰] Computer algebra tools for Feynman integrals and related multi-sums

J. Blümlein, Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 46인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양자장이론에서 피카르 적분과 관련된 다중합을 단순화하기 위한 컴퓨터 대수 도구의 포괄적인 세트를 제시한다. 이 도구들은 마스터 인테그랄의 계산을 가능하게 하며, 매개변수화된 적분을 다중 중첩 합으로 변환하고, 특수 함수와 비정적 중첩 합의 형태로 복잡한 루프 적분과 결합된 미분 방정식계를 축소한다. 이는 세 번째 루프까지의 고정밀도 QCD 계산을 가능하게 한다. 도구들은 마스터 인테그랄의 계산을 가능하게 하며, 매개변수화된 적분을 다중 중첩 합으로 변환하고, 특수 함수와 비정적 중첩 합의 형태로 복잡한 루프 적분과 결합된 미분 방정식계를 축소한다. 이는 세 번째 루프까지의 고정밀도 QCD 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In perturbative calculations, e.g., in the setting of Quantum Chromodynamics (QCD) one aims at the evaluation of Feynman integrals. Here one is often faced with the problem to simplify multiple nested integrals or sums to expressions in terms of indefinite nested integrals or sums. Furthermore, one seeks for solutions of coupled systems of linear differential equations, that can be represented in terms of indefinite nested sums (or integrals). In this article we elaborate the main tools and the corresponding packages, that we have developed and intensively used within the last 10 years in the course of our QCD-calculations.

연구 동기 및 목표

• 다중 루프 피카르 적분을 단순화하기 위한 컴퓨터 대수 도구를 개발하고 체계화하기.
• 피카르 적분의 큰 복잡한 표현을 기호 계산에 적합한 형태로 축소하는 데 도전 과제를 해결하기.
• 중첩 합과 특수 함수를 사용하여 다중 루프 진폭의 로렌츠 급수 전개를 효율적으로 계산하기.
• 적분별 부분 적분 축약에서 유도된 선형 미분 방정식계를 기호 합산과 재귀 해법으로 처리하기.
• 대량의 입자와 고차수 모멘트 계산을 위한 대모멘트 방법과 재귀 해법기를 사용하여 QCD에서의 고다중성 및 고모멘트 계산을 지원하기.

제안 방법

• 기호 적분과 멜린-바른스 분해를 적용하여 피카르 매개변수 적분을 다중 중첩 합으로 변환하기.
• 재귀 해법 기법을 사용하여 초함수 다중합을 비정적 중첩 합의 형태로 단순화하기.
• SumProduction 패키지를 활용하여 산산이 흩어진 다중합의 집합을 압축되고 기호 합산에 적합한 형태로 통합 및 단순화하기.
• SolveCoupledSystem 패키지를 활용하여 적분별 부분 적분 축약에서 유도된 선형 미분 방정식계를 해결하기.
• 대모멘트 방법을 구현하여 선형 시간 재귀 평가를 사용하여 물리적 진폭의 최대 8000개의 모멘트를 효율적으로 계산하기.
• 점근 전개 및 극한 알고리즘을 통합하여 중첩 합 표현의 큰 n 행동을 평가하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QCD에서의 다중 루프 피카르 적분은 어떻게 비정적 중첩 합과 특수 함수의 형태로 체계적으로 축소될 수 있는가?
• RQ2 적분별 부분 적분 항등식에서 유도된 선형 미분 방정식계의 기호 계산 전략은 무엇인가?
• RQ3 산산이 흩어진 다중합의 큰 집합은 어떻게 통합하고 단순화하여 기호 합산에 적합한 형태로 만들 수 있는가?
• RQ4 QCD 진폭의 고다중성 모멘트를 효율적으로 평가하기 위한 계산 기법은 무엇인가?
• RQ5 결합된 미분 방정식을 만족하는 마스터 인테그랄의 ε 전개는 어떻게 신뢰성 있게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 기호 합산과 재귀 해법을 사용하여 QCD에서 3루프 분열 함수의 첫 번째 재계산을 성공적으로 수행하였다.
• 대모멘트 방법을 통해 선형 시간 재귀 평가를 사용하여 물리적 진폭의 최대 8000개의 모멘트를 효율적으로 계산할 수 있었다.
• SumProduction와 Sigma의 통합은 기존에 조합 폭발로 인해 해결이 불가능한 복잡한 다중합 표현을 단순화할 수 있게 하였다.
• 적분별 부분 적분 항등식을 통해 수천 개의 개별 피카르 적분이 최소한의 마스터 인테그랄 집합으로 축소되었다.
• 기호 합산 도구는 개별 합은 단순화되지 않지만 조합은 단순화 가능한 초함수 다중합에 대해 신뢰성 있는 단순화를 달성하였다.
• 이 프레임워크는 3루프 진폭의 ε 전개를 r = 2까지의 차수까지 계산할 수 있었으며, 계수들은 특수 함수와 상수의 형태로 표현되었다.