[논문 리뷰] Continued fractions, statistics, and generalized patterns

Toufik Mansour|ArXiv.org|2001. 10. 03.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 132-avoiding 순열 내에서 일반화된 패턴—특히 12-3-...-k 및 21-3-...-k 패턴—을 도입하여 순열 통계량에 대한 연분수 생성함수를 일반화한다. 이는 나라야나 수, 카탈란 수, 증가 부분수열 통계량과 연결된 새로운 연분수 전개를 수립함으로써, 기존의 유사한 대수적 및 조합 기법을 사용한 고전적 패턴에 대한 연구를 확장한다.

ABSTRACT

Recently, Babson and Steingrimsson (see \cite{BS}) introduced generalized permutations patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Following \cite{BCS}, let $e_kπ$ (respectively; $f_kπ$) be the number of the occurrences of the generalized pattern $12\mn3\mn...\mn k$ (respectively; $21\mn3\mn...\mn k$) in $π$. In the present note, we study the distribution of the statistics $e_kπ$ and $f_kπ$ in a permutation avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$. Also we present an applications, which relates the Narayana numbers, Catalan numbers, and increasing subsequences, to permutations avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$ according to a given statistics on $e_kπ$, or on $f_kπ$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 순열 패턴을 위한 연분수 프레임워크를 인접 제약 조건이 있는 일반화된 패턴으로 확장하기.
• 132-avoiding 순열 내에서 일반화된 패턴 통계량 e_k(π) 및 f_k(π)의 분포를 연구하기.
• 이러한 통계량과 나라야나 수, 카탈란 수, 증가 부분수열과 같은 조합적 대상 간의 연결 고리를 설정하기.
• 유사한 대수적 기법을 사용하여 이전의 고전적 패턴 결과([BCS, MV1] 등)를 일반화된 패턴 설정으로 확장하기.
• 패턴 회피 순열의 맥락에서, 순열 통계량의 생성함수를 연분수를 통해 통합적으로 제공하는 프레임워크를 마련하기.

제안 방법

• [BCS]의 증명 기법을 변형하여 132-avoiding 순열 내 일반화된 패턴의 연분수 생성함수를 유도하기.
• e_k(π) 및 f_k(π)를 순열 π 내에서 일반화된 패턴 12-3-...-k 및 21-3-...-k의 발생 수로 정의하기.
• 최대 원소의 위치를 기반으로 132-avoiding 순열의 재귀적 분해를 사용하여 재귀 관계 유도하기.
• 행렬 변환과 생성함수 항등식을 적용하여 생성함수를 알려진 조합 수열과 연결하기.
• 분모에 이항계수를 포함하는 연분수 구조를 활용: ∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}}.
• 나라야나 수 및 카탈란 수에 대한 알려진 연분수와 동일시하는 함수 방정식을 수립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 순열 패턴을 위한 연분수 프레임워크는 어떻게 인접 제약 조건이 있는 일반화된 패턴으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 132-avoiding 순열 내에서 통계량 e_k(π) 및 f_k(π)의 공동 분포는 무엇인가?
• RQ3 e_k(π) 및 f_k(π)의 생성함수는 명시적인 계수를 가진 연분수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이러한 통계량은 나라야나 수, 카탈란 수 또는 증가 부분수열을 통해 조합적 해석이 가능한가?
• RQ5 고전적 패턴에 사용된 동일한 대수적 방법이 132-avoiding 맥락 내 일반화된 패턴에 적용 가능한가?

주요 결과

• 생성함수 ∑_{π∈S(1-3-2)} ∏_{k≥1} x_k^{e_k(π)} 는 (n+1)번째 분모가 x_1 · ∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}} 인 연분수로 주어진다.
• e_2(π) = k 를 만족하는 132-avoiding 순열의 수는 나라야나 수 N(n,k) 와 동일하며, 이는 나라야나 수에 대한 알려진 연분수와 생성함수를 일치시킴으로써 입증된다.
• 유사하게, f_2(π) = k 를 만족하는 132-avoiding 순열의 수 역시 나라야나 수 N(n,k) 와 동일하며, 함수 방정식 일치를 통한 확인이 이루어졌다.
• 2-증가 부분수열의 총 개수(∑_{k≥2} e_k(π))는 연분수 1 / (1 - t(1-x) - x t / (1 - t(1-x^2) - x^2 t / (1 - ...))) 에 의해 표현된다.
• 거의 2-증가 부분수열의 총 개수(∑_{k≥2} f_k(π))는 연분수 1 - t / (x t - 1 / (1 - t / (x^2 t - 1 / (1 - ...))) 에 의해 표현된다.
• 132-avoiding 순열의 수(카탈란 수)에 대한 생성함수는 일반화된 프레임워크의 특수 케이스로 복원되며, 알려진 연분수 형태와의 일致를 확인한다.