[논문 리뷰] On multi-avoidance of generalized patterns

Mansour, T., Kitaev, S.|ArXiv.org|2002. 09. 25.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 3패턴을 피하면서 동시에 지정된 증가 또는 감소 패턴으로 시작하고 끝나는 순열의 수에 대한 재귀 관계와 생성함수를 제공한다. 기존의 고전적 및 일반화된 순열 패턴의 다중 피하기 연구를 확장하여, 여러 경우에 대해 닫힌 형식 표현과 지수 생성함수를 제시하며, 오일러 수, 치환의 순환, 벨 수 등과의 연결을 포함한다.

ABSTRACT

In [Kit1] Kitaev discussed simultaneous avoidance of two 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. In three essentially different cases, the numbers of such $n$-permutations are $2^{n-1}$, the number of involutions in $\mathcal{S}_n$, and $2E_n$, where $E_n$ is the $n$-th Euler number. In this paper we give recurrence relations for the remaining three essentially different cases. To complete the descriptions in [Kit3] and [KitMans], we consider avoidance of a pattern of the form $x-y-z$ (a classical 3-pattern) and beginning or ending with an increasing or decreasing pattern. Moreover, we generalize this problem: we demand that a permutation must avoid a 3-pattern, begin with a certain pattern and end with a certain pattern simultaneously. We find the number of such permutations in case of avoiding an arbitrary generalized 3-pattern and beginning and ending with increasing or decreasing patterns.

연구 동기 및 목표

• 내부 하이픈이 없는 두 3패턴의 동시 피하기에 대한 잔여 세 케이스를 해결함으로써 3패턴 피하기의 분류를 완성하는 것.
• 순열이 일반화된 3패턴을 피하면서 동시에 지정된 증가 또는 감소 패턴으로 시작하고 끝나야 한다는 조건을 추가하여 순열 패턴 피하기 연구를 일반화하는 것.
• 이러한 순열의 수에 대한 지수 생성함수와 일반 생성함수, 재귀 관계, 닫힌 형식 표현을 도출하는 것.
• 단일 패턴 피하기와 시작/끝 패턴 제약 조건에 대한 이전 결과를 다중 제약 조건과 일반화된 패턴을 통합함으로써 확장하는 것.
• 미래 연구 방향으로서 다중 패턴 피하기 및 정확한 패턴 포함 수 계산 등의 일반화 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 일반 생성함수와 지수 생성함수를 사용하여 일반화된 3패턴을 피하고 시작/끝 패턴 제약 조건을 만족하는 순열의 수를 인코딩한다.
• 역순, 보완, 그 조합 등의 대칭 연산을 적용하여 서로 다른 케이스 수를 줄이며, 이러한 변환에 대해 피하기 수의 불변성을 활용한다.
• 12-3를 피하고 12…ℓ 또는 12…k로 끝나는 순열의 수에 대한 재귀 관계를 적분 방정식과 재귀적 분해를 통해 유도한다.
• 적분 표현과 지수 생성함수를 사용하여 증가 또는 감소하는 초기/최종 패턴을 포함하는 케이스의 해를 표현한다.
• 이러한 순열의 수와 오일러 수, 벨 수, 치환의 순환과 같은 알려진 조합 수열 간의 관계를 설정한다.
• 포함의 원리와 재귀적 분해를 적용하여 초기 또는 최종 패턴이 일반화된 패턴과 겹칠 경우를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 3패턴을 피하면서 증가 또는 감소 패턴으로 시작하고 다른 증가 또는 감소 패턴으로 끝나는 순열의 수는 얼마인가?
• RQ2 12-3를 피하고 12…ℓ 또는 12…k로 끝나는 순열의 수를 특성화하는 데 재귀 관계와 생성함수는 어떻게 사용되는가?
• RQ3 12-3를 피하고 특정 패턴으로 시작하고 끝나는 순열의 수와 오일러 수, 벨 수와 같은 알려진 조합 수열 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 역순, 보완, 그 조합의 대칭성이 초기 및 최종 패턴 제약 조건이 있는 패턴 피하기 순열의 수를 세는 데 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 두 개의 일반화된 3패턴을 동시에 피하면서 증가 또는 감소 패턴으로 시작하고 끝나는 순열의 생성함수는 무엇인가?

주요 결과

• 12-3를 피하고 12…ℓ로 끝나는 경우, 지수 생성함수는 k=2이고 ℓ=2일 때 e^{e^t - e^m + m}를 포함하는 적분 표현으로 주어진다.
• 12-3를 피하고 12…k로 시작하고 12…ℓ로 끝나는 경우, k≥3 또는 ℓ≥3이면 이러한 순열의 수는 0이며, 작은 k와 ℓ에 대해서만 비영이 된다.
• 12-3를 피하고 12…ℓ로 끝나는 순열의 수는 1-23를 피하고 12…ℓ로 시작하는 순열의 수와 동일하다. 이는 역순과 보완 연산에 의한 대칭성 때문이다.
• 12-3를 피하고 k(k-1)…1로 시작하고 12…ℓ로 끝나는 순열의 경우, 재귀 관계는 이항계수의 합과 3-21-피하는 순열의 알려진 수를 포함한다.
• 12-3를 피하고 k(k-1)…1로 시작하고 ℓ(ℓ-1)…1로 끝나는 순열의 지수 생성함수는 x와 절단된 지수 급수의 지수를 포함하는 편미분 방정식을 만족한다.
• 12-3와 21-3를 동시에 피하고 1 또는 12로 시작하고 끝나는 경우, 생성함수는 각각 e^{x + x²/2} - 1과 관련된 적분으로 명시적으로 주어진다.