[논문 리뷰] Continuity of the solution map of the Euler equations in Hölder spaces and weak norm inflation in Besov spaces

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 06.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 옐러르 방정식의 해 맵이 표준 허더 공간 $C^{1,\beta}$ 에서는 연속적이지 않음을 보이며, $0<\beta<1$ 이고, 그러나 리틀 허더 공간 $c^{1,\beta}$ 에 제한될 경우 연속적임을 보여준다. 또한 임계 공간 $B^{1}_{2,1}$ 근처의 베소프 공간에서 약한 노름 증폭을 통한 약한 해의 불안정성(ill-posedness)을 규명하였으며, 이는 임계 지수 근처에서 소볼레프 포함의 최적 상수의 불연속성을 암시한다.

ABSTRACT

We construct an example showing that the solution map of the Euler equations is not continuous in the Hölder space from $C^{1,α}$ to $L^\infty_tC^{1,α}_x$ for any $0

연구 동기 및 목표

• 비압축성 옐러르 방정식의 해 맵이 허더 공간 $C^{1,\beta}$ 와 리틀 허더 공간 $c^{1,\beta}$ 에서의 연속성을 조사한다.
• 약한 노름 증폭을 통한 $B^{1}_{2,1}$ 근처의 임계 공간에서의 베소프 공간에서의 불안정성(ill-posedness)을 규명한다.
• 부드러운 근사의 역할을 $C^{1,\beta}$ 공간에서 명확히 하며, 부드러운 함수의 비밀도성으로 인한 실패를 설명한다.
• 소볼레프 포함에서의 최적 상수가 임계 지수 $s=1+2/p$ 근처에서 연속적이지 않음을 보여준다.

제안 방법

• 디페르나-마자다 유형의 시프링 유량을 구성하여 $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ 에서 $C^{1,\alpha}$ 초깃값에 대해 해 맵의 불연속성을 보여준다.
• 부드러운 함수가 $C^{1,\alpha}$ 에서 밀도가 아니라는 사실을 이용해 연속성 실패를 설명하며, 이는 이전 연구에서의 메커니즘과 대조된다.
• 에너지 추정과 $W^{s,p}$ 노름에서의 그론발 유형의 추론을 통해 리틀 허더 공간 $c^{1,\alpha}$ 에서의 해 맵의 연속성을 증명한다.
• 공액 추정(Kato-Ponce 유형)과 소볼레프 포함을 적용하여 비선형 전송 방정식에서의 $D^{s_*}$ 노름을 제어한다.
• 초기 조건의 평균화 시퀀스 $u_0^j = \varphi_j * u_0$ 를 사용하여 $u_0$ 를 $W^{s,p}$ 에서 근사하고 해의 수렴성을 분석한다.
• 약한 연속성과 함수 공간의 분리 가능성을 활용하여 비선형 소용돌이 방정식에 대한 $L^p$ 와 $W^{s,p}$ 노름에서의 사전 추정을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 옐러르 방정식의 해 맵은 $C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 에서 $L^\infty([0,T), C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3))$ 로 연속적인가? $0<\alpha<1$ 일 때.
• RQ2 해 맵이 리틀 허더 공간 $c^{1,\alpha}$ 에 제한될 경우 여전히 연속적인가?
• RQ3 임계 공간 근처 $s=1$ 과 $p=2$ 에서의 베소프 공간 $B^{s}_{p,\infty}$ 에서의 약한 노름 증폭은 옐러르 방정식의 불안정성과 연결될 수 있는가?
• RQ4 소볼레프 포함 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ 의 최적 상수가 $p \to 2^+$ 일 때 연속적인가?

주요 결과

• 비압축성 옐러르 방정식의 해 맵은 임의의 $0<\alpha<1$ 에 대해 $C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 에서 $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ 로 연속적이지 않다.
• 해 맵은 리틀 허더 공간 $c^{1,\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $n=2,3$ 과 $0<\alpha<1$ 일 때 하다르드 의미에서 국소적으로 잘 정의되어 있다.
• 임계 공간 $B^{1}_{2,1}$ 근처의 베소프 공간 $B^{s}_{p,\infty}$ 에서 불안정성(ill-posedness)이 입증되었으며, 약한 노름 증폭이 관찰되었다.
• 소볼레프 포함 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ 에서의 최적 상수 시퀀스는 $p \to 2^+$ 일 때 연속적이지 않다.
• $C^{1,\alpha}$ 에서의 연속성 실패는 리프시츠 변환이나 유계성의 문제 때문이 아니라, 부드러운 함수의 비밀도성 때문임을 규명하였다.
• 공액 추정과 그론발 부등식을 통해 비선형 소용돌이 방정식에 대한 $W^{s,p}$ 노름에서의 사전 추정을 확립하였으며, 이는 평균화된 해의 수렴성을 가능하게 하였다.