[논문 리뷰] Convergence of an Euler scheme for a hybrid stochastic-local volatility model with stochastic rates in foreign exchange markets

Andrei Cozma, Matthieu Mariapragassam외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Heston–2CIR++ 스토하스틱-로컬 볼라티리티 모델에서 CIR++ 단기 금리에 대해 전체 절단 올리에르 방법을, 외환 환율에 대해 로그-올리에르 방법을 조합한 몬테카를로 시뮬레이션 체계를 제안한다. 이는 할인 환율 근사의 강한 L¹ 수렴을 입증하여 현실적인 스토하스틱 금리 역학 하에서 경로에 따라 변동하는 외환 파생상품(예: 자동콜러블 노트)의 신뢰성 있는 가격 책정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the Heston-Cox-Ingersoll-Ross++ stochastic-local volatility model in the context of foreign exchange markets and propose a Monte Carlo simulation scheme which combines the full truncation Euler scheme for the stochastic volatility component and the stochastic domestic and foreign short interest rates with the log-Euler scheme for the exchange rate. We establish the exponential integrability of full truncation Euler approximations for the Cox-Ingersoll-Ross process and find a lower bound on the explosion time of these exponential moments. Under a full correlation structure and a realistic set of assumptions on the so-called leverage function, we prove the strong convergence of the exchange rate approximations and deduce the convergence of Monte Carlo estimators for a number of vanilla and path-dependent options. Then, we perform a series of numerical experiments for an autocallable barrier dual currency note.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 스토하스틱-로컬 볼라티리티 및 스토하스틱 금리 모델 하에서 외환 옵션에 대한 견고한 몬테카를로 시뮬레이션 체계를 개발하기 위해.
• 장기 만기 외환 파생상품 가격 책정에서 일정 금리 가정의 한계를 해결하기 위해.
• 비선형성과 상관관계가 있는 프로세스를 포함한 전체 시스템에 대해 올리에르 이산화 체계의 강한 수렴을 보장하기 위해.
• 현실적인 시장 역학 하에서 자동콜러블 바리어 노트와 같은 경로에 따라 변동하는 옵션의 정확한 평가를 가능하게 하기 위해.
• 볼라티리티와 금리 역학을 모두 반영하는 모델을 활용하여 구조화된 외환 상품의 캘리브레이션 및 리스크 관리 지원을 위해.

제안 방법

• CIR++ 과정으로 모델링된 국내 및 해외 단기 금리에 대해 전체 절단 올리에르 체계를 사용하여 음수 금리 방지를 위한 비음성과 안정성 확보.
• 환율 프로세스에 대해 로그-올리에르 체계를 적용하여 양수성 유지 및 수치적 안정성 향상.
• Heston–2CIR++ SLV 모델의 전체 상관관계 구조 내에서 두 체계를 하나의 몬테카를로 프레임워크 내에 통합.
• CIR++ 과정에 대한 전체 절단 올리에르 근사의 지수적 적분 가능성 입증 및 이러한 순간의 폭발 시간에 하한을 도출.
• 실제 리스크 프리미엄 함수와 전체 상관관계 구조 하에서 할인 환율 근사의 강한 L¹ 수렴을 입증.
• 자기콜러블 이중 통화 노트에 대한 수치 실험을 통해 수렴성과 성능 검증 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 Heston–2CIR++ SLV 모델에 대한 올리에르 체계가 환율 근사의 강한 수렴을 달성하는가?
• RQ2 CIR++ 과정에 대한 전체 절단 올리에르 체계가 지수적 적분 가능성을 유지하고 순간의 폭발을 방지하는가?
• RQ3 스토하스틱 금리의 포함 여부가 일정 금리 모델 대비 장기 만기 경로에 따라 변동하는 외환 파생상품의 가격 책정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 몬테카를로 시뮬레이션에서 시간 이산화 오차의 경험적 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ5 이 모델은 자동콜러블 바리어 노트와 같이 내재된 경로에 따라 변동하는 특성을 지닌 복잡한 구조화된 노트를 정확하게 가격 책정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 전체 상관관계 구조와 현실적인 리스크 프리미엄 함수 하에서 할인 환율 근사의 강한 L¹ 수렴을 입증하여, 무한한 수익이 발생하는 옵션에 대한 몬테카를로 추정기의 수렴을 보장한다.
• CIR++ 과정에 대한 전체 절단 올리에르 체계가 지수적 적분 가능함을 입증하였으며, 지수 순간의 폭발 시간에 하한이 도출되었다.
• 자기콜러블 이중 통화 노트에 대한 수치 실험 결과 시간 이산화에서 일차 수렴 속도를 보였으며, 시간 단계에 따라 경험적 수렴 순서는 0.996에서 1.184 사이로 나타났다.
• 모델은 일정 금리 모델 대비 장기 만기 외환 파생상품의 가격 책정 정확도에서 뚜렷한 향상을 보였으며, 특히 바리어 기능에 대해 두드러진 개선 효과를 보였다.
• 스토하스틱 금리의 영향은 구조화된 노트의 쿠폰 수에 따라 크게 증폭되며, 중장기 상품에 대해 스토하스틱 금리 역학이 반드시 필요함을 시사한다.
• 수렴 분석은 다중 수준 몬테카를로 방법의 적용 가능성을 뒷받침하며, 이는 고차수의 수렴 속도가 입증된 경우에 유용하다.