[논문 리뷰] Corrigendum for "Second-order reflected backward stochastic differential equations" and "Second-order BSDEs with general reflection and game options under uncertainty"

Anis Matoussi, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2차 반사 backward stochastic 미분 방정식(2RBSDEs)과 그 이중 반사 확장인 2차 이중 반사 2BSDEs(2DRBSDEs)의 최소성 조건에서 발생하는 심각한 결함을 수정한다. 이로 인해 이전에는 유일성과 사전 추정치가 손상되었다. 저자들은 스코로호드 유형의 최소성 조건을 제안하고, 하부 장벽에 대한 추가적인 진동 조건 하에서 이것이 유일성과 잘 정의됨을 증명한다. 이는 최근의 $G$-프레임워크 결과와 일치하며, 이전 연구에서 핵심적인 결과의 유효성을 복원한다.

ABSTRACT

The aim of this short note is to fill in a gap in our earlier paper [16] on 2BSDEs with reflections, and to explain how to correct the subsequent results in the second paper [15]. We also provide more insight on the properties of 2RBSDEs, in the light of the recent contributions [13, 23] in the so--called $G-$framework.

연구 동기 및 목표

• 저자들이 이전에 발표한 연구에서 유일성 증명이 무효화되는 2RBSDEs에 대한 원래 최소성 조건의 결함을 규명하고 수정한다.
• 하부 장벽에 대한 진동 조건을 가정할 경우, 스코로호드 유형 최소성 조건이 원래 결함이 있는 조건과 동일한 해를 제공함을 입증한다.
• 2DRBSDEs에 관한 후속 논문의 결과, 특히 사전 추정치와 동적 프rogramming 원리의 수정이 필요함을 밝힌다.
• 최근의 $G$-프레임워크 결과와의 일관성을 입증하고, 두 최소성 조건의 동치성을 보여준다.
• 볼륨 불확실성 하에서 게임 옵션 가격 설정에 2DRBSDEs를 사용할 수 있음을 검증하고, 혼란 집합 내 모든 측도에서의 슈퍼 헤징을 보장한다.

제안 방법

• 논문 [21]의 원래 최소성 조건(2.6)에서 $K^\mathbb{P'} - k^\mathbb{P'}$의 비감소성 보장에 실패함을 규명한다.
• 하부 장벽에 대한 진동 조건(가정 2.1) 하에서, $Y_{t^-} = L_{t^-}$일 때 $K^\mathbb{P}$가 비감소함을 보장하는 스코로호드 유형 조건을 기반으로 한 새로운 최소성 조건을 도입한다.
• 생성자 $F$의 리프시츠 성질과 $\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-노름의 구조를 이용하여, 새로운 조건이 원래 결함이 있는 조건과 동일한 해를 제공함을 증명한다.
• 논문 [20]의 사전 추정치를 수정하여, 유계 변동 과정의 총 변동량 제어를 그대로 유지하지 않고, 그 $\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-노름 제어로 대체한다.
• [26] 및 [23]의 결과를 활용하여, 이전에 균일 연속성 조건이 필요로 했던 제약을 제거하고, 일반적인 $\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$에 대해 존재성을 확장한다.
• 동적 프로그래밍 원리를 재구성하고, 잘못된 비고(예: [20]의 비고 3.9 및 3.12)를 삭제하며, 제안 3.10에서 상수 $\gamma$를 0으로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 [21]의 원래 최소성 조건은 2RBSDEs에서 유일성을 보장하지 못하는가?
• RQ2 스코로호드 유형 최소성 조건이 원래 조건을 대체할 수 있으며, 동일한 해와 유일성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 스코로호드 유형 조건이 원래 조건과 동일한 해를 제공하기 위해 추가로 필요한 가정은 무엇인가?
• RQ4 수정된 최소성 조건이 이중 반사 케이스([20])의 사전 추정치와 동적 프로그래밍 원리에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수정된 2DRBSDEs가 볼륨 불확실성 하에서 게임 옵션에 대한 슈퍼 헤징 전략을 얼마나 잘 제공하는가?

주요 결과

• 논문 [21]의 원래 최소성 조건(2.6)은 $K^{\mathbb{P}'} - k^{\mathbb{P}'}$가 비감소임을 보장하지 못하여 유일성 증명이 무효화된다.
• 새로운 스코로호드 유형 최소성 조건은 하부 장벽 $L$이 진동 조건(가정 2.1)을 만족할 경우, 유일성 보장과 원래 조건과 동일한 해를 제공한다.
• [20]의 사전 추정치는 수정되었으며, 유계 변동 과정의 총 변동량 제어는 더 이상 이루어지지 않고, 그 $\mathbb{D}^{2,\kappa}_H$-노름 제어로 대체된다.
• [20]의 비고 3.9 및 3.12는 무효화되어 삭제되어야 하며, 제안 3.10에서는 상수 $\gamma$를 0으로 설정해야 한다.
• [20]의 존재성 결과는 [26] 및 [23]의 결과를 활용하여, 균일 연속성 조건이 필요 없이 모든 $\xi \in \mathbb{L}^{2,\kappa}_H$로 확장된다.
• 2DRBSDEs와 볼륨 불확실성 하에서 게임 옵션의 슈퍼 헤징 간의 연결성은 그대로 유지되나, 가격의 최적성은 아직 증명되지 않았지만 기대된다.