[논문 리뷰] Cross-cap defects and fault-tolerant logical gates in the surface code and the honeycomb Floquet code

Ryohei Kobayashi, Guanyu Zhu|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 10.

Quantum and electron transport phenomena참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 설계 평면($\mathbb{RP}^2$)과 클라인 병과 같은 비방향성 표면에 임베딩된 비틀림 토폴로지 양자 코드—특히 $\mathbb{Z}_2$ 토릭 코드와 꿀벌집 플로케트 코드—에서 고장 내성 논리 게이트를 도입한다. 교차 캡이 존재함으로써 나타나는 잠재적 대칭성은 상수 깊이의 국소 유니터리 실현 방식을 가능하게 하여 히스테리시스를 감소시키고 이전의 접힌 표면 코드에서 발생하는 거리 절반 문제를 피한다.

ABSTRACT

We consider the $\mathbb{Z}_2$ toric code, surface code and Floquet code defined on a non-orientable surface, which can be considered as families of codes extending Shor's 9-qubit code. We investigate the fault-tolerant logical gates of the $\mathbb{Z}_2$ toric code in this setup, which corresponds to $e\leftrightarrow m$ exchanging symmetry of the underlying $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. We find that non-orientable geometry provides a new way the emergent symmetry acts on the code space, and discover the new realization of the fault-tolerant Hadamard gate of 2d $\mathbb{Z}_2$ toric code on a surface with a single cross-cap, dubbed a non-orientable toric code. This Hadamard gate can be realized by a constant-depth local unitary circuit modulo non-locality caused by a cross-cap. Via folding, the non-orientable surface code can be turned into a bilayer local quantum code, where the folded cross-cap is equivalent to a bi-layer twist terminated on a gapped boundary and the logical Hadamard only contains local gates with intra-layer couplings. We further obtain the complete logical Clifford gate set for a stack of non-orientable surface codes. We then construct the honeycomb Floquet code in the presence of a single cross-cap, and find that the period of the sequential Pauli measurements acts as a $HZ$ logical gate on the single logical qubit, where the cross-cap enriches the dynamics compared with the orientable case. We find that the dynamics of the honeycomb Floquet code is precisely described by a condensation operator of the $\mathbb{Z}_2$ gauge theory, and illustrate the exotic dynamics of our code in terms of a condensation operator supported at a non-orientable surface.

연구 동기 및 목표

• 비방향성 다양체에서의 토폴로지 안정자 및 플로케트 코드에 대한 고장 내성 논리 게이트를 개발하는 것.
• 접힌 표면 코드에서 발생하는 거리 절반 문제를 교차 캡을 통해 상수 깊이의 논리 게이트를 가능하게 함으로써 극복하는 것.
• 비국소적 연결성을 가진 $\mathbb{RP}^2$ 코드에서 안정자 펌프 회로를 통해 논리 헤이지드 게이트를 실현하는 것.
• $\mathbb{RP}^2$ 및 클라인 병 코드에서 전체 논리 클리포드 게이트 세트를 생성하는 데로 확장하는 것.
• 꿀벌집 플로케트 코드에서 순차적 파울리 측정 주기의 작용이 비방향성 기하학에서 페르미온 anyon 의 응집으로 인해 $HZ$ 논리 게이트로 작용함을 보여주는 것.

제안 방법

• $\mathbb{RP}^2$ 코드를 단일 교차 캡이 반대면을 연결하는 표면 코드의 비방향성 변형으로 구성하는 것.
• 교차 캡으로 인한 비국소성에 따라 상수 깊이의 안정자 펌프 회로를 통해 논리 헤이지드 게이트를 실현하는 것.
• $\mathbb{RP}^2$ 코드를 이중층 시스템으로 접어 교차 캡에 위치한 층 교환 결함을 통해 게이트 연산을 국소화하는 것.
• 교차 캡이 있는 꿀벌집 플로케트 코드의 동역학을 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론의 응집 연산자로 매핑하여 $HZ$ 게이트로 작용하는 것.
• 아르프-브라운-커베이어 불변량을 사용하여 응집 연산자의 힐베르트 공간에 대한 작용을 계산하여 $\mathbb{RP}^2$에 대해 $\mathrm{diag}(e^{2\pi i/8}, e^{-2\pi i/8})$ 행렬을 도출하고, 이는 $\mathbb{Z}_8$ 분류에 해당함을 보여주는 것.
• 페르미온 쌍대체와 위상 불변량의 결과로 비방향성 표면에서의 꿀벌집 플로케트 코드의 강화된 동역학을 유도하는 것.

Figure 1: Logical Hadamard gate of the surface code.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비방향성 표면(예: $\mathbb{RP}^2$)에서 토폴로지 양자 코드에 고장 내성 논리 게이트를 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ2 거리 감소 없이 비방향성 표면 코드에서 상수 깊이 회로로 헤이지드 게이트를 어떻게 실행할 수 있는가?
• RQ3 교차 캡이 $\mathbb{Z}_2$ 토릭 코드의 잠재적 대칭성과 동역학을 어떻게 수정하는가?
• RQ4 꿀벌집 플로케트 코드에서 측정 주기가 비방향성 표면에서 논리 게이트로 작용하는 방식은 무엇인가?
• RQ5 교차 캡이 있는 꿀벌집 플로케트 코드에서 강화된 대칭성과 주기의 필드 이론적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathbb{RP}^2$ 코드에서 논리 헤이지드 게이트는 교차 캡으로 인한 비국소성에 따라 상수 깊이의 안정자 펌프 회로를 통해 실현되며, 접힌 표면 코드에서 관찰되는 두 배 거리 감소 문제를 피한다.
• 접힌 $\mathbb{RP}^2$ 코드는 교차 캡을 제외한 영역에서 레이어 내 결합만을 사용하여 논리 헤이지드 게이트를 실현하는 반면, 기존 접힌 표면 코드는 레이어 간 결합을 필요로 한다.
• 단일 교차 캡을 사용하여 $\mathbb{RP}^2$ 코드와 클라인 병 코드에서 CNOT 및 $S$ 게이트를 포함한 전체 논리 클리포드 게이트 세트를 구성한다.
• 단일 교차 캡이 있는 꿀벌집 플로케트 코드는 주기 2 대신 주기 4의 동역학을 보이며, 코드 공간에 대해 $\mathrm{diag}(e^{2\pi i/8}, e^{-2\pi i/8})$ 작용을 하는 $HZ$ 논리 게이트로 해석된다.
• 비방향성 표면에서 꿀벌집 플로케트 코드의 동역학은 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론의 응집 연산자로 기술되며, 이는 핀$^{-}$-구조에서 카이타에프 체인의 분할 함수를 평가하여 8제곱근 단위의 위상 값을 도출한다.
• 응집 연산자는 비방향성 표면에서 페르미온 불변형 상의 $\mathbb{Z}_8$ 분류의 생성자로 작용하며, 연장된 주기와 강화된 대칭성을 설명한다.

Figure 2: Codimension-1 defect of the emergent symmetry is obtained by applying the symmetry on the restricted region $R$ in the 2d space. The logical gate is understood as sweeping a defect over the whole space.