[논문 리뷰] Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

Maissam Barkeshli, Yu-An Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 21.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 141인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 (d+1)차원 시공간 차원에서 유한 게이지 이론이 1-form 대칭과 게이지화된 대칭 보호 위상(SPT) 상호작용의 상호작용으로 인해 고차 대칭(global symmetry)을 나타냄을 밝혀낸다. Dijkgraaf-Witten 위상 게이지 이론에서 d-군 대칭과 그 't Hooft 이상을 유도하며, Witten 효과와 전하-자기장 부착을 일반화한다. 주요 결과로는 이 대칭을 통해 (3+1)D 안정화 코드에서 새로운 고장내성 논리 게이트(예: 제어-제로 게이트)를 발견하고, 페르미온 SPT 상에서 H⁵(BG, U(1)) 장애물에 대한 간소화된 공식을 도출한다.

ABSTRACT

A large class of gapped phases of matter can be described by topological finite group gauge theories. In this paper we show how such gauge theories possess a higher-group global symmetry, which we study in detail. We derive the $d$-group global symmetry and its 't Hooft anomaly for topological finite group gauge theories in $(d+1)$ space-time dimensions, including non-Abelian gauge groups and Dijkgraaf-Witten twists. We focus on the 1-form symmetry generated by invertible (Abelian) magnetic defects and the higher-form symmetries generated by invertible topological defects decorated with lower dimensional gauged symmetry-protected topological (SPT) phases. We show that due to a generalization of the Witten effect and charge-flux attachment, the 1-form symmetry generated by the magnetic defects mixes with other symmetries into a higher group. We describe such higher-group symmetry in various lattice model examples. We discuss several applications, including the classification of fermionic SPT phases in (3+1)D for general fermionic symmetry groups, where we also derive a simpler formula for the $[O_5] \in H^5(BG, U(1))$ obstruction that has appeared in prior work. We also show how the $d$-group symmetry is related to fault-tolerant non-Pauli logical gates and a refined Clifford hierarchy in stabilizer codes. We discover new logical gates in stabilizer codes using the $d$-group symmetry, such as a Controlled-Z gate in (3+1)D $\mathbb{Z}_2$ toric code.

연구 동기 및 목표

• 위상 유한 게이지 이론, 비아벨 및 왜곡된 Dijkgraaf-Witten 모델을 포함하여 고차 대칭 글로벌 대칭을 식별하고 분류하는 것.
• 자기적 결함의 1-form 대칭이 일반화된 Witten 효과와 전하-자기장 부착을 통해 SPT 결함와 혼합되어 고차 대칭의 구조를 형성하는 방식을 이해하는 것.
• (3+1)D에서 페르미온 SPT 상을 고차 대칭을 활용하여 분류하고, H⁵(BG, U(1)) 장애물에 대한 간소화된 공식을 유도하는 것.
• 고차 대칭을 안정화 코드의 클리포드 계층과 연결하여 새로운 고장내성 논리 게이트를 밝혀내는 것.
• 포스트니코프 계열의 구조를 사용하여 고차 게이지 이론에서 이상과 상관 함수를 체계적으로 분류하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 일반화된 Witten 효과와 자기 결함 및 게이지화된 SPT 상호작용 간의 전하-자기장 부착을 통해 (d+1)D Dijkgraaf-Witten 게이지 이론에서 d-군 글로벌 대칭을 유도한다.
• (3+1)D에서 Z₂ 및 Z₂² 게이지 이론에 대해 3-군 대칭의 격자 모델을 구성하여 대칭 대수를 명시적으로 실현한다.
• 포스트니코프 계열 형식을 사용하여 d-군 대칭의 't Hooft 이상을 분류하며, H⁴ 및 H⁵ 계열이 3-군 및 4-군의 구조를 기록한다.
• 고차 대칭을 안정화 코드의 논리 게이트를 안정화하는 데 적용하여, 클라인 botte topology에 기반한 (3+1)D Z₂ 토릭 코드에서 제어-제로 게이트를 식별한다.
• 배경 게이지 장 기법을 사용하여 이상과 상관 함수를 계산하고, 일반화된 Witten 효과와의 일관성을 검증한다.
• 코homology의 카르탕 공식과 코 boundary 항을 분석하여 페르미온 SPT 상에서 O₅ 장애물에 대한 간소화된 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 게이지 이론에서 자기 결함의 1-form 대칭이 SPT 결함와 어떻게 혼합되어 고차 대칭을 형성하는가?
• RQ2 (d+1)D Dijkgraaf-Witten 이론에서 d-군 글로벌 대칭의 정확한 't Hooft 이상의 구조는 무엇인가?
• RQ3 고차 대칭을 어떻게 활용하여 (3+1)D에서 페르미온 SPT 상을 분류할 수 있으며, H⁵(BG, U(1)) 장애물은 간소화될 수 있는가?
• RQ4 고차 대칭과 안정화 코드의 클리포드 계층 간의 관계는 무엇이며, 새로운 논리 게이트를 생성할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 Witten 효과와 전하-자기장 부착은 비아벨 게이지 이론에서 자기 결함의 융합 및 끼워맞춤을 어떻게 수정하는가?

주요 결과

• 유한 게이지 이론에서 자기 결함가 생성하는 1-form 대칭은 게이지화된 SPT 상과의 결합으로 인해 중심 확장을 통해 고차 대칭으로 확장된다.
• (3+1)D Z₂ 토릭 코드에서 클라인 볼 토양에 기반한 3-군 대칭을 통해 제어-제로 게이트가 고장내성 논리 게이트로 실현된다.
• 페르미온 SPT 상에서 H⁵(BG, U(1)) 장애물에 대한 간소화된 공식을 유도하였으며, 이는 이전 결과와 일치하지만 코homological 항등식을 통해 더 깔끔하게 표현된다.
• 페르미온 입자를 포함한 Z₂ 게이지 이론에서의 3-군 대칭은 (3+1)D 페르미온 SPT 상을 분류하는 데 새로운 프레임워크를 제공하며, 카르탕 공식을 통한 명시적 이상 계산이 가능하다.
• (3+1)D에서의 비왜곡된 Z₃₂ 게이지 이론에서 3-군 대칭은 비자명한 H⁴ 포스트니코프 계열을 통해 실현되며, 고차 대칭의 구조를 확인한다.
• 일반화된 Witten 효과는 1-form 대칭과 SPT 결함 사이의 비자명한 혼합을 유도하며, 이는 보존 및 페르미온 모델 모두에서 고차 대칭의 존재에 필수적이다.