[논문 리뷰] Curvatures of moduli space of curves and applications

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 종수 $g \geq 2$의 곡선의 모듈리 공간이 Weil-Petersson 계량을 지닌 경우 강한 곡률 부정성 성질을 지닌다. 이는 이중-Nakano 부정성 및 준-Nakano 부정성 곡률을 포함하며, 이는 리만 곡률 연산자가 비음성이고 복소 섹션 곡률이 비음성임을 뜻한다. 주요 응용으로, 아벨 다양체의 모듈리 공간의 Torelli 부분공간 내에서 유한체적을 가진 완전지오데식 부분다양체가 항상 볼 몫임을 증명함으로써, 미분기하학적 방법으로 Oort의 추측을 지지한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the geometry of the moduli space of curves by using the curvature properties of direct image sheaves of vector bundles. We show that the moduli space $(M_g, ω_{WP})$ of curves with genus $g>1$ has dual-Nakano negative and semi-Nakano-negative curvature, and in particular, it has non-positive Riemannain curvature operator and also non-positive complex sectional curvature. As applications, we prove that any submanifold in $M_g$ which is totally geodesic in $A_g$ with finite volume must be a ball quotient.

연구 동기 및 목표

• 종수 $g \geq 2$의 곡선의 모듈리 공간에서 Weil-Petersson 계량의 곡률 성질을 조사하는 것.
• 모듈리 공간 $\mathcal{M}_g$에 대해 이중-Nakano 부정성 및 준-Nakano 부정성 곡률을 포함한 강력한 곡률 부정성 성질을 확립하는 것.
• Oort의 추측, 즉 $\mathcal{A}_g$의 Torelli 부분공간 내에서 비자명한 국소 대칭 부분다양체의 존재가 불가능하다는 추측을 해결하기 위해 곡률 성질을 응용하는 것.
• 유한체적을 가진 완전지오데식 부분다양체가 Torelli 부분공간 내에 존재할 경우 반드시 볼 몫이어야 한다는 것을 미분기하학적 방법으로 증명하는 것.

제안 방법

• 벡터 번들의 직접 이미지 선다발의 곡률 공식을 사용하여, $T^*\mathcal{M}_g$에서 Weil-Petersson 계량의 역의 곡률을 계산한다.
• [11]의 기법과 [2], [12], [23]의 곡률 공식을 적용하여, $\mathcal{M}_g$에서 Weil-Petersson 계량의 곡률 성질을 유도한다.
• 카플러 다양체에서 곡률 관계의 계층을 수립하여, 이중-Nakano 부정성에서 비음성 리만 곡률 연산자 및 복소 섹션 곡률로의 함의관계를 보여준다.
• Torelli 사상 $j: \mathcal{M}_g \to \mathcal{A}_g$를 사용하여, $\mathcal{M}_g$의 기하학을 Hodge 계량을 지닌 아벨 다양체의 모듈리 공간의 기하학과 연결한다.
• 강력한 음성 헬름홀트 곡률이 $V$에서 성립하고 $j(V)$에서 비음성 곡률이 성립할 경우, $j(V)$가 반드시 볼 몫이 되도록 하는 강성 정리(예: To의 정리 5.2)를 적용한다.
• Mok의 결과를 사용하여, $\mathcal{M}_g$ 내의 국소 대칭 공간이 랭크 $>1$을 가질 경우 Weil-Petersson 계량의 엄격한 곡률 부정성이 위배됨을 보여, 랭크 1으로 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Weil-Petersson 계량을 지닌 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{M}_g$는 강력한 곡률 부정성 성질을 지니는가?
• RQ2 이중-Nakano 부정성이 $\mathcal{M}_g$의 맥락에서 어떤 곡률 함의관계를 초래하는가?
• RQ3 $\mathcal{M}_g$의 곡률 성질을 사용하여 Torelli 부분공간 내에서 랭크가 높은 국소 대칭 부분다양체의 존재를 배제할 수 있는가?
• RQ4 Torelli 사상은 곡률 제약 조건을 유지하는가? 만약 그렇다면, $\mathcal{A}_g$ 내에서 유한체적을 가진 완전지오데식 부분다양체가 반드시 볼 몫이 되도록 하는가?

주요 결과

• 종수 $g \geq 2$일 때, 모듈리 공간 $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$는 이중-Nakano 부정성 및 준-Nakano 부정성을 지닌다.
• 그 결과, $({\mathcal{M}}_g,\omega_{\mathrm{WP}})$는 비음성 리만 곡률 연산자와 비음성 복소 섹션 곡률을 지닌다.
• 모든 부분다양체 $V \subset \mathcal{M}_g$에서 $j(V)$가 $({\mathcal{A}}_g,\omega_H)$에서 완전지오데식이고 유한체적일 경우, $V$는 반드시 볼 몫이어야 한다.
• 결과적으로 이는 Oort의 추측에 대해 미분기하학적 접근을 확인한 것으로, Weil-Petersson 계량을 지닌 $\mathcal{M}_g$에 비자명한 랭크를 가진 국소 대칭 공간이 해석적 임베딩될 수 없다는 것을 보여준다.
• 정리 1.1에서 수립된 곡률 계층은 이중-Nakano 부정성이 비음성 리만 곡률 연산자, 복소 섹션 곡률, 복소 이분할 곡률을 함의함을 보여준다.
• 보조정리 1.6는 $\mathcal{M}_g$로의 비상수 해석적 사상 $X = \Omega/\Gamma$가 존재할 경우 $\Omega$의 랭크가 1이어야 하며, 즉 $X$가 반드시 볼 몫이어야 함을 확인한다.