[논문 리뷰] Data-driven feedback stabilization of nonlinear systems: Koopman-based model predictive control

Abhinav Narasingam, Joseph Sang‐Il Kwon|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 19.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 29인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템을 안정화하기 위해 코프만 연산자 이론을 활용한 데이터 기반 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크를 제안한다. 비선형 역학을 코프만 고유함수를 통해 함수 공간으로 리프팅함으로써 시스템을 이차형 모델로 변환하여 제어 리아프노프 함수(CL)의 효율적 계산을 가능하게 하고, 리아프노프 제약 조건을 갖춘 MPC를 통해 폐쇄 루프 안정성을 보장한다. 이는 원래 시스템 역학에 대한 명시적 지식이 필요로 하지 않는다.

ABSTRACT

In this work, a predictive control framework is presented for feedback stabilization of nonlinear systems. To achieve this, we integrate Koopman operator theory with Lyapunov-based model predictive control (LMPC). The main idea is to transform nonlinear dynamics from state-space to function space using Koopman eigenfunctions - for control affine systems this results in a bilinear model in the (lifted) function space. Then, a predictive controller is formulated in Koopman eigenfunction coordinates which uses an auxiliary Control Lyapunov Function (CLF) based bounded controller as a constraint to ensure stability of the Koopman system in the function space. Provided there exists a continuously differentiable inverse mapping between the original state-space and (lifted) function space, we show that the designed controller is capable of translating the feedback stabilizability of the Koopman bilinear system to the original nonlinear system. Remarkably, the feedback control design proposed in this work remains completely data-driven and does not require any explicit knowledge of the original system. Furthermore, due to the bilinear structure of the Koopman model, seeking a CLF is no longer a bottleneck for LMPC. Benchmark numerical examples demonstrate the utility of the proposed feedback control design.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템의 피드백 안정화 프레임워크를 개발하여 원래 시스템 모델에 의존하지 않도록 하는 것.
• 코프만 연산자 이론을 활용하여 비선형 역학을 선형 제어 기법을 사용할 수 있는 함수 공간으로 리프팅하는 것.
• 모델 예측 제어(MPC) 형식에 제어 리아프노프 함수(CL)를 통합하여 리프팅된 공간에서 폐쇄 루프 안정성을 보장하는 것.
• 리프팅된 공간에서의 안정성이 원래 상태 공간으로 되돌아올 수 있도록 연속적으로 미분 가능한 역매핑을 통해 보장하는 것.
• 퍼텐셜, 예를 들어 펜듈럼과 같은 벤치마크 비선형 시스템에서 제안된 방법의 효과성을 입증하는 것 — 명시적 시스템 지식 없이도 안정화가 가능함을 보여줌.

제안 방법

• 시간 시리즈 데이터에서 유도된 코프만 고유함수를 사용하여 비선형 시스템 역학을 고차원 함수 공간으로 리프팅한다.
• 샘플링된 궤적에서 확장된 동적 모드 분해(EDMD)를 사용하여 코프만 연산자 및 그 고유함수를 근사한다.
• 코프만 공간에서의 리프팅된 시스템을 이차형 모델로 설정하여 효율적인 제어 설계를 가능하게 한다.
• 이차형 제어 리아프노프 함수(CL)를 볼록 최적화(예: 준선형계획법)를 통해 설계한다.
• CLF를 MPC 형식에 제약 조건으로 통합하여 코프만 시스템의 리아프노프 안정성을 강제한다.
• 선형 제어 입력을 계산하기 위해 손타그의 공식 또는 기타 명시적 제어 법칙을 사용하여 리프팅된 공간에서 안정성과 제약 조건을 충족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코프만 기반 이차형 모델은 비선형 시스템의 데이터 기반 피드백 안정화를 명시적 시스템 지식 없이 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 코프만 기반 MPC 프레임워크에서 제어 리아프노프 함수는 비선형 시스템에 대해 효율적으로 계산되고 강제로 적용될 수 있는가?
• RQ3 코프만 리프팅된 공간에서의 안정성이 원래 상태 공간에서의 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 코프만 모델의 이차형 구조는 일반 비선형 시스템에서 CLF 탐색의 계산적 병목 현상을 제거할 수 있는가?
• RQ5 안정하지 않은 평형점이나 리미트 사이클을 가진 시스템, 예를 들어 펜듈럼과 같은 시스템에서 제안된 제어기는 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 코프만 기반 LMPC 제어기는 다양한 초기 조건 [-1,1]×[-1,1] 하에서 원점에서 비선형 펜듈럼 시스템을 성공적으로 안정화시킨다.
• 폐쇄 루프 궤적이 개방 루프 시스템의 리미트 사이클 내에서 유한하게 유지되며, 평형점으로의 안정적 수렴과 강건성을 나타낸다.
• 제어기는 원래 시스템의 역학에 대한 명시적 지식 없이도 작동하며, 오직 데이터 기반 코프만 근사에 의존한다.
• 코프만 모델의 이차형 구조 덕분에 볼록 최적화를 통해 제어 리아프노프 함수를 효율적으로 계산할 수 있어, 일반적으로 발생하는 CLF 기반 제어 설계의 병목 현상을 피할 수 있다.
• 손타그의 공식 또는 기타 명시적 제어 법칙의 사용은 리프팅된 공간에서 안정적인 피드백 제어를 가능하게 하며, 성능을 위해 경험적으로 $ k = 10 $의 제어 이득을 선택하였다.
• 이 방법은 상태 공간과 함수 공간 사이에 연속적으로 미분 가능한 역매핑이 존재하는 한, 코프만 이차형 시스템의 안정성이 원래 비선형 시스템의 안정성으로 이어진다는 것을 입증한다.