[논문 리뷰] Degenerate elliptic operators in mathematical finance and Holder continuity for solutions to variational equations and inequalities

Paul M. N. Feehan, Camelia A. Pop|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 51인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 변분 방정식 및 부등식의 해에 대해 퇰존 연산자라는 열화된 타원형 허스턴 연산자에 대한 헬더 연속성과 하르낙 유형 부등식을 수립한다. 이는 확률적 변동성 모델의 핵심 생성자이다. 가중 치수 스펙트럼을 사용하여 경계 정규성을 증명하고 최대값 추정치를 도출하며, 이는 금융 수학에서 영구적 아메리칸 옵션 가격을 분석하는 데 필수적이다.

ABSTRACT

The Heston stochastic volatility process, which is widely used as an asset price model in mathematical finance, is a paradigm for a degenerate diffusion process where the degeneracy in the diffusion coefficient is proportional to the square root of the distance to the boundary of the half-plane. The generator of this process with killing, called the elliptic Heston operator, is a second-order, degenerate-elliptic partial differential operator whose coefficients have linear growth in the spatial variables and where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the distance to the boundary of the half-plane. With the aid of weighted Sobolev spaces, we prove supremum bounds, a Harnack inequality, and H\older continuity near the boundary for solutions to variational equations defined by the elliptic Heston operator, as well as H\older continuity up to the boundary for solutions to variational inequalities defined by the elliptic Heston operator. In mathematical finance, solutions to obstacle problems for the elliptic Heston operator correspond to value functions for perpetual American-style options on the underlying asset.

연구 동기 및 목표

• 열화된 타원형 허스턴 연산자에 의해 이끄는 변분 방정식의 해에 대해 경계 근처에서의 헬더 연속성을 수립하기 위해.
• 가중 치수 스펙트럼에서 타원형 허스턴 연산자 해에 대해 최대값 추정치와 하르낙 부등식을 도출하기 위해.
• 장애 문제에 관련된 금융 분야에서의 변분 부등식 해로 정규성 결과를 확장하기 위해.
• 허스턴 확률적 변동성 모델 하에서 영구적 아메리칸 스타일 옵션의 가치 함수에 대한 엄밀한 분석적 기초를 제공하기 위해.
• 반평면의 경계로부터의 거리의 제곱근 비례로 퍼짐 계수의 열화 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 허스턴 연산자에서의 열화를 다루기 위해 가중 치수 스펙트럼을 사용하며, 여기서 퍼짐 계수는 경계에서 0이 된다.
• 타원형 허스턴 연산자로 정의된 방정식과 부등식의 해를 연구하기 위해 변분 방법을 적용한다.
• 연산자의 구조와 가중 함수의 성질을 활용하여 하르낙 부등식을 유도한다.
• 가중 함수 공간에서 에너지 추정치와 임bedding 정리들을 통해 최대값 추정치를 확립한다.
• 열화된 경계 근처에서 해의 행동을 분석하여 경계까지의 헬더 연속성을 증명한다.
• 허스턴 연산자와 허스턴 확률적 변동성 과정의 생성자 간의 연결을 활용하여 재무적 맥락에서 결과를 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열화된 타원형 허스턴 연산자에 관여하는 변분 방정식의 해에 대해 경계 근처에서 헬더 연속성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ2 가중 치수 스펙트럼 설정에서 해에 대해 어떤 최대값 추정치와 하르낙 유형 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 허스턴 연산자의 열화가 변분 부등식의 해의 정규성에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ4 허스턴 연산자의 분석적 성질은 영구적 아메리칸 옵션의 가치 함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 장애 문제에 의해 지배되는 타원형 허스턴 연산자 해에 대해 경계 정규성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 타원형 허스턴 연산자로 정의된 변분 방정식의 해는 반평면의 경계 근처에서 헬더 연속성을 보인다.
• 비음수 해에 대해 하르낙 부등식이 수립되어 열화된 경계 근처에서 해의 성장에 대한 균일한 통제를 보장한다.
• 가중 치수 스펙트럼 프레임워크 내에서 해에 대해 최대값 추정치가 증명되어 필수적인 L∞ 추정치를 제공한다.
• 타원형 허스턴 연산자를 포함하는 변분 부등식의 해는 경계까지의 헬더 연속성을 보인다.
• 결과는 허스턴 모델 하에서 영구적 아메리칸 스타일 옵션의 가치 함수의 정규성을 확인한다.
• 경계로부터의 거리의 제곱근에 비례하는 퍼짐 계수의 열화는 가중 치수 기법을 통해 성공적으로 관리된다.