[논문 리뷰] Deligne--Lusztig constructions for division algebras and the local Langlands correspondence, II

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 딜레뇨–류스티그 이론을 통해 분할 대수에 대한 국소 랑글랜드 및 자크에-랑글랜드 대응을 기하학적으로 실현한다. 비분해적 특성 $\theta$가 $L/K$의 비분해적 확장에서 수준 $h$를 가지면, $D^\times$-표현 $H_{\bullet}(X)[\theta]$는 기약이며 차수 $(n-1)(h-k)^+$에 집중되어 있으며, 이는 $\mathrm{GL}_n(K)$의 해당 슈퍼패스큘라 표현의 자크에-랑글랜드 전송과 일치한다.

ABSTRACT

In 1979, Lusztig proposed a cohomological construction of supercuspidal representations of reductive $p$-adic groups, analogous to Deligne-Lusztig theory for finite reductive groups. In this paper we establish a new instance of Lusztig's program. Precisely, let $X$ be the $p$-adic Deligne-Lusztig ind-scheme associated to a division algebra $D$ of invariant k/n over a non-Archimedean local field $K$. We study its homology groups by establishing a Deligne-Lusztig theory for families of finite unipotent groups that arise as subquotients of $D^ imes$. The homology of $X$ induces a natural correspondence between quasi-characters of the (multiplicative group of the) unramified degree-$n$ extension of $K$ and representations of $D^{ imes}$. For a broad class of characters $θ,$ we show that the representation $H_\bullet(X)[θ]$ is irreducible and concentrated in a single degree. Moreover, we show that this correspondence matches the bijection given by local Langlands and Jacquet-Langlands. As a corollary, we obtain a geometric realization of Jacquet-Langlands transfers between representations of division algebras.

연구 동기 및 목표

• 분할 대수에 대해 류스티그의 $p$-진 델레뇨–류스티그 프로그램을 확장하여 $L^\times$의 특성과 $D^\times$의 표현 사이의 기하학적 대응을 구성한다.
• 델레뇨–류스티그 인드-스키마 $X$의 코homology $H_{\bullet}(X)[\theta]$가 비분해적 특성 $\theta$에 대해 $D^\times$의 기약 표현을 유도함을 증명한다.
• 이 구성이 $\mathrm{GL}_n(K)$와 $D^\times$ 사이의 자크에-랑글랜드 대응을 기하학적으로 실현하며, 기존의 랑글랜드 대응과 일치함을 증명한다.

제안 방법

• 비아르키메데스 국소체 $K$ 위의 분할 대수 $D$의 불변량 $k/n$에 대응하는 $p$-진 델레뇨–류스티그 인드-스키마 $X$를 구성한다.
• $D^\times$의 부분군으로서 나타나는 유한 유니포텐트 군의 가중치 $U_{h,k}^{n,q}$를 통해 $H_{\bullet}(X)$의 $D^\times$-표현을 연구한다.
• $X_h \to U_{h,k}^{n,q}(\bbF_{q^n})$의 부분스키마 위에서 $(1+\tilde{\frak{p}}^h)$의 작용을 분석하여 문제를 유한군 표현으로 환원한다.
• 비분해적 특성 $\theta$를 $L^\times$에서 수준 $h$로 정의하고, 이에 따라 대응 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$를 설정한다.
• 국소 랑글랜드 대응을 적용하여 $\theta$를 웰 군 표현 $\rho_{\theta}$와 연결하고, 자크에-랑글랜드를 통해 $D^\times$의 슈퍼패스큘라 표현 $\rho_{\theta}$와 연결한다.
• $H_{\bullet}(X)[\theta]$가 $\rho_{\theta}$와 일치함을 증명하기 위해, $\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{잔여 특성}$에 의한 회전 불변성과 매우 정규 원소에서의 특성 추적 항등식을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 대수에 대한 $p$-진 델레뇨–류스티그 구성이 $D^\times$의 기약 표현을 유도하는가?
• RQ2 비분해적 특성 $\theta$에 대해 코homology $H_{\bullet}(X)[\theta]$가 단일 차수에 집중되는가?
• RQ3 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$의 대응이 $\mathrm{GL}_n(K)$와 $D^\times$ 사이의 자크에-랑글랜드 전송을 기하학적으로 실현하는가?
• RQ4 국소 랑글랜드 대응이 분할 대수 설정에서 델레뇨–류스티그 이론을 통해 기하학적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 비분해적 특성 $\theta$가 수준 $h$를 가지면, 표현 $H_{\bullet}(X)[\theta]$는 기약이며 차수 $(n-1)(h-k)^+$에 집중되어 있으며, 나머지 모든 차수는 0이 된다.
• $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ 코homology 군은 국소 랑글랜드 및 자크에-랑글랜드 대응에 따라 $\theta$에 대응하는 $D^\times$의 기약 표현 $\rho_{\theta}$와 동형이다.
• $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$의 대응은 국소 랑글랜드 및 자크에-랑글랜드 이중 대응의 합성과 일치하며, 후자의 기하학적 실현을 제공한다.
• 이 구성은 $\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{잔여}$ 특성에 의한 회전 불변성을 보이며, 기대되는 자동형 성질과의 호환성을 확인한다.
• $D'$가 불변량 $k'/n$을 가지는 다른 분할 대수이면, $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$의 자크에-랑글랜드 전송은 $H_{(n-1)(h-k')^+}(X')[\theta]$와 동형이 되며, 이는 전송의 불변성을 확인한다.
• $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$의 매우 정규 원소 $x$에서의 추적은 갈루아 졸업의 합과 일치하여 특성 항등식을 검증한다.