[논문 리뷰] Deligne's conjecture for automorphic motives over CM-fields, Part I: factorization

Harald Grobner, Michael Harris외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 43인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코herent 코hom로직 자동형식의 cup 곱 구조와 함께 Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris (IINH) 공식을 활용하여, CM 체 위에서 자동형식 주기와 Rankin-Selberg 및 Asai L함수의 임계값 사이의 관계를 수립한다. 허용 조건으로 IINH 공식과 GL(n) L함수의 유한 차수 반시계성 캐릭터에 의한 변형에 대한 비영성 추측을 가정할 때, 해석적 형태의 자동형식 주기는 코herent 코호몰로지 자동형식의 곱으로 분해되며, 이는 타이트 추측이 예측하는 모티빅 분해와 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

This is the first of two papers devoted to the relations between Deligne's conjecture on critical values of motivic $L$-functions and the multiplicative relations between periods of arithmetically normalized automorphic forms on unitary groups. The present paper combines the Ichino-Ikeda-Neal Harris (IINH) formula with an analysis of cup products of coherent cohomological automorphic forms on Shimura varieties to establish relations between certain automorphic periods and critical values of Rankin-Selberg and Asai $L$-functions of $GL(n) imes GL(m)$ over CM fields. The second paper reinterprets these critical values in terms of automorphic periods of holomorphic automorphic forms on unitary groups. As a consequence, we show that the automorphic periods of holomorphic forms can be factored as products of coherent cohomological forms, compatibly with a motivic factorization predicted by the Tate conjecture. All of these results are conditional on the IINH formula (which is still partly conjectural), as well as a conjecture on non-vanishing of twists of automorphic $L$-functions of $GL(n)$ by anticyclotomic characters of finite order.

연구 동기 및 목표

• 유닛리 군 위에서 자동형식 주기 간의 곱셈적 관계와 모티빅 L함수의 임계값에 대한 델리그의 추측 간의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 시무라 다양체 위에서 코herent 코호몰로지 자동형식의 cup 곱이 CM 체 위에서 Rankin-Selberg 및 Asai L함수의 임계값과 어떻게 관련되는지 분석하는 것.
• 해석적 형태의 자동형식 주기를 코herent 코호몰로지 자동형식의 곱으로 분해하는 것을 확립하고, 타이트 추측이 예측하는 모티빅 분해와의 호환성을 보장하는 것.
• 두 번째 논문의 기초를 마련하여, 임계값을 유닛리 군 위의 자동형식 주기로 재해석하는 것.

제안 방법

• 자동형식 주기와 L함수의 특수값 사이의 관계를 설정하기 위해 Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris (IINH) 공식을 활용한다.
• 시무라 다양체 위에서 코herent 코호몰로지 자동형식의 cup 곱 구조를 적용하여 주기 관계를 유도한다.
• CM 체 위에서 GL(n) × GL(m)의 Rankin-Selberg 및 Asai L함수를 분석하여 자동형식 주기와 연결한다.
• 코호몰로지 기법과 자동형식 표현 이론을 결합하여 주기 분해를 연구한다.
• IINH 공식(일부는 여전히 추측에 머물러 있음)과 GL(n) L함수의 유한 차수 반시계성 캐릭터에 의한 변형에 대한 비영성 추측에 의존한다.
• 주기 분해가 타이트 추측이 예측하는 모티빅 분해와 호환됨을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유닛리 군 위에서 해석적 형태의 자동형식 주기는 CM 체 위에서 코herent 코호몰로지 자동형식으로 어떻게 분해되는가?
• RQ2 Rankin-Selberg 및 Asai L함수의 임계값과 시무라 다양체 위 자동형식 주기 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 IINH 공식과 코호몰로지 자동형식의 cup 곱이 델리그의 추측의 맥락에서 주기 관계를 얼마나 잘 설명하는가?
• RQ4 이러한 주기 관계는 타이트 추측이 예측하는 모티빅 분해와 얼마나 일치하는가?
• RQ5 CM 체 위에서 GL(n)의 L함수에 대해 변형된 L함수가 비영성이 보장되기 위해 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 유닛리 군 위에서 해석적 형태의 자동형식 주기가 CM 체 위에서 코herent 코호몰로지 자동형식의 곱으로 분해될 수 있음을 수립한다.
• GL(n) × GL(m)에 대한 Rankin-Selberg 및 Asai L함수의 임계값은 시무라 다양체 위에서 cup 곱 구성에 의해 자동형식 주기와 관련이 있음을 보여준다.
• 자동형식 주기의 분해는 타이트 추측이 예측하는 모티빅 분해와 호환된다.
• 결과는 Ichino-Ikeda-Nekovar-Harris 공식과 GL(n) L함수의 유한 차수 반시계성 캐릭터에 의한 변형에 대한 비영성 추측에 조건적으로 의존한다.
• 이 틀은 두 번째 논문에서 개발된 바와 같이, 임계 L값을 유닛리 군 위의 자동형식 주기로 재해석하는 길을 열어준다.
• 분석은 코호몰로지 자동형식, L함수의 특수값, 그리고 CM 체 위에서의 모티빅 산술적 구조 간의 깊은 상호작용을 드러낸다.