[논문 리뷰] Demystification of quantum entanglement

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 29.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복합계에서의 양자 얽힘과 상관관계가 양자 텐서 곱 구조론을 기반으로 하지 않고, 부분계 힐버트 공간들의 카르테시언 곱 위에 정의된 고전적 가우시안 랜덤 필드를 사용하여 완전히 기술될 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 특히 얽힌 상태에서의 양자 평균이 이러한 고전적 전양자 필드 위의 통계 평균으로 나타나며, 밀도 연산자는 이러한 필드의 공분산 연산자로 해석된다는 것이다.

ABSTRACT

One of the crucial differences between mathematical models of classical and quantum mechanics is the use of the tensor product of the state spaces of subsystems as the state space of the corresponding composite system. (To describe an ensemble of classical composite systems one uses random variables taking values in the Cartesian product of the state spaces of subsystems.) We show that, nevertheless, it is possible to establish a natural correspondence between the classical and quantum probabilistic descriptions of composite systems. Quantum averages for composite systems (including entangled) can be represented as averages with respect to classical random fields. It is essentially what Albert Einstein was dreamed of. Quantum mechanics is represented as classical statistical mechanics with infinite-dimensional phase space. While the mathematical construction is completely rigorous, its physical interpretation is a complicated problem (which will not be discussed in this paper).

연구 동기 및 목표

• 복합계의 고전적 및 양자적 확률적 기술 간 엄밀한 수학적 대응을 수립하기 위해.
• 전양자 확률적 필드 내 고전적 상관관계에서 기인하는 양자 얽힘의 개념적 수수께끼를 풀기 위해.
• 예측된 고전적 통계장 이론(PCSFT)을 얽힌 상태를 포함한 복합계로 확장하기 위해.
• 스chrödinger 역학과 양자 상관관계가 국소적이지 않은 동역학을 갖는 고전적 확률과정으로 유도될 수 있음을 보여주기 위해.
• 이전의 힌트적 기술을 수정하고 보완하여 양자-고전 대응에 대한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 복합계의 양자 상태를 텐서 곱 공간의 벡터로 표현하지 않고, 힐베르트 공간들의 카르테시언 곱 위에서 작용하는 공분산 연산자의 비대각 블록으로 표현한다.
• 전양자 시스템을 $ H_1 \times H_2 $ 에 값을 갖는 가우시안 랜덤 필드로 모델링하며, 공분산 연산자 $ D(t) $ 가 양자 평균을 결정한다.
• 양자 기대값을 고전적 통계 평균으로 복원하기 위해 추적 공식 $ \langle A \rangle = \mathrm{Tr}(D(t) A) $ 를 사용한다.
• 상호작용이 없더라도 양자 상관관계를 재현할 수 있는 상관관계 함수를 갖는 확률과정 $ \xi(t, \omega) $ 를 구성한다.
• 시간에 따른 공분산 연산자 $ D(t) $ 의 진화를 유니터리 동역학 $ D(t) = V(t) D(0) V(t)^* $ 를 통해 유도한다. 여기서 $ V(t) $ 는 시간 진동수 연산자이다.
• 과정 $ \xi(t, \omega) $ 가 비국소적임을 보여준다: 각 부분계의 동역학은 다른 계의 해밀토니언에 의존하며, 상호작용이 없더라도 마찬가지이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 통계역학과 랜덤 필드를 사용하여 양자 얽힘과 상관관계를 완전히 재구성할 수 있는가?
• RQ2 양자 얽힌 상태의 상관관계 함수를 재현하는 고전적 확률과정이 존재하는가?
• RQ3 복합계의 양자 동역학은 어떻게 전양자 고전적 장이론에서 유도될 수 있는가?
• RQ4 양자 평균과 상관관계를 재현하는 전양자 필드의 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ5 양자 상관관계의 비국소성은 기저가 되는 고전적 확률과정의 비국소성으로 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 얽힌 상태에 대한 양자 평균은 힐베르트 공간들의 카르테시언 곱 공간 $ H_1 \times H_2 $ 에서의 가우시안 랜덤 필드 위의 고전적 통계 평균으로 표현되며, 밀도 연산자는 이러한 필드의 공분산 연산자로 해석된다.
• 스chrödิง거 역학 하에서의 양자 상관관계의 시간 진화는 상호작용 항이 없는 경우에도 비국소적 동역학을 갖는 고전적 확률과정 $ \xi(t, \omega) $ 를 통해 재현된다.
• 과정 $ \xi(t, \omega) $ 는 비국소적이다: $ \xi_1(t, \omega) $ 의 진화는 $ \widehat{H}_2 $ 에 의존하며, 반대로 $ \xi_2(t, \omega) $ 의 진화는 $ \widehat{H}_1 $ 에 의존한다. 상호작용이 없음에도 불구하고 마찬가지이다.
• 정확한 상관관계 함수 표현은 $ D_{\xi}(t,s) = V(s) \sqrt{D(0)} V^*(s) V(t) \sqrt{D(0)} V^*(t) $ 이며, 이는 [43]에서 이전에 잘못된 표현을 수정한 것이다.
• 양자 순수 상태를 $ H_1 \otimes H_2 $ 에서의 벡터가 아니라 $ H_1 \times H_2 $ 에서의 공분산 연산자의 비대각 블록으로 표현하는 것은 얽힘에 대한 새로운 기하학적 해석을 제공한다.
• 무한차원의 경우, 이 프레임워크는 $ \mathbf{H}_+ \subset \mathbf{H} \subset \mathbf{H}_- $ 의 릿지 힐베르트 공간으로 확장되며, 과정은 $ \mathbf{H}_- $ 에 값을 갖는다. 이 경우에도 모든 결과가 유지된다.