[논문 리뷰] Denotational semantics of general store and polymorphism

Jonathan Sterling, Daniel Gratzer외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 05.

Semantic Web and Ontologies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 참조 유형과 순환 유형을 포함하는 다형적 종속 유형 이론을 위한 최초의 의미론적 의미론을 제시한다. 이는 보호된 재귀와 합성 보호 도메인 이론을 사용하여 문법적으로 정의할 수 없는 의미론적 Kripke 세계를 모델링한다. 주요 기여는 매개변수적 추론과 증거-관점적 논리적 관계와 호환되는 관계 모델을 제공함으로써, 명령형 추상 자료형의 합성 검증을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We contribute the first denotational semantics of polymorphic dependent type theory extended by an equational theory for general (higher-order) reference types and recursive types, based on a combination of guarded recursion and impredicative polymorphism; because our model is based on recursively defined semantic worlds, it is compatible with polymorphism and relational reasoning about stateful abstract datatypes. We then extend our language with modal constructs for proof-relevant relational reasoning based on the "logical relations as types" principle, in which equivalences between imperative abstract datatypes can be established synthetically. What is new in relation to prior typed denotational models of higher-order store is that our Kripke worlds need not be syntactically definable, and are thus compatible with relational reasoning in the heap. Our work combines recent advances in the operational semantics of state with the purely denotational viewpoint of synthetic guarded domain theory.

연구 동기 및 목표

• 일반 참조 유형과 순환 유형을 갖춘 다형적 종속 유형 이론을 위한 의미론적 의미론을 제공하는 것.
• 매개변수적 다형성과 고차수 상태를 함께 조화롭게 결합하면서도 관계적 추론을 지원할 수 있는 방법을 해결하는 것.
• 문법적으로 정의할 수 없는 Kripke 세계를 의미론적으로 모델링하여 힙 기반의 관계적 추론과의 호환성을 확보하는 것.
• 논리적 관계를 유형으로 다루는 원칙을 통해 모달 구조를 확장하여 증거-관점적 관계적 추론을 내재화하는 것.
• 종속 유형 이론에 상태를 포함하는 고차수 분리 논리의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 후행 모달리티 □를 사용한 합성 보호 도메인 이론(SGDT)을 사용하여 재귀 정의를 계층화하고 의미론적 프레임워크에서 시간을 모델링하는 것.
• 각 세계가 힙 위치에 의미론적 유형을 할당하는 전순서 W로 정의된 의미론적 세계를 정의하여 상태에 대한 의미론적 수준의 추론을 가능하게 하는 것.
• 세미틱 유형을 W에서 예도메인으로의 함자로 정의하여 도메인 방정식을 통한 순환 유형 정의를 허용하는 것.
• 세미틱 세계가 문법적으로 정의된 세계가 아니어도 되는 Kripke 논리적 관계 모델을 도입하여 다양한 힙 상태 간의 관계적 추론을 지원하는 것.
• 논리적 관계를 유형으로 다루는 원칙을 활용하여 명령형 추상 자료형 간의 증거-관점적 동치성을 내재화하는 것.
• 보호된 재귀와 비예측적 다형성을 결합하여 다형성과 상태를 통합된 의미론적 모델에서 동시에 지원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수적 다형성과 일반 참조 유형을 의미론적 의미론에서 일관되게 결합할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 힙에 할당된 상태에 대한 관계적 추론을 지원하기 위해 Kripke 세계를 문법적 정의가 아닌 의미론적 정의로 정의할 수 있는가?
• RQ3 고차수 상태의 유형 이론적 모델에서 증거-관점적 관계적 추론을 내재화할 수 있는가?
• RQ4 의미론적 유형과 힙 위치를 포함하는 도메인 방정식을 해결하는 데 보호된 재귀가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 참조를 포함하는 종속 유형 이론의 의미론적 모델이 고차수 분리 논리에 의한 모듈러한 추론을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 합성 보호 도메인 이론을 사용하여 일반 참조 유형과 순환 유형을 포함하는 다형적 종속 유형 이론의 완전한 의미론적 모델을 구축한다.
• 의미론적 세계가 문법적 세계가 아니라 의미론적 실체임을 허용함으로써 상태를 가진 추상 자료형에 대한 관계적 추론을 지원한다.
• 세미틱 세계는 세계에서 예도메인으로의 함자로 구성된 도메인 방정식을 통해 정의되며, 이는 이전의 의미론적 유형 체계에서 유형 연결자 문제를 해결한다.
• 논리적 관계를 유형으로 다루는 원칙을 통해 합성 증거-관점적 관계적 추론을 가능하게 하여 명령형 자료구조 간의 동치성을 내재적으로 확립할 수 있다.
• 모델을 고차수 분리 논리로 확장할 수 있으며, 이는 이후에 모델 위에 Iris 스타일의 BI-하이퍼도구를 구성함으로써 입증되었다.
• Birkedal 등(2010)의 반례에 의해, 이전의 모델들이 의미론적 세계를 사용할 때 순환 유형을 다룰 수 없음을 입증함으로써, 본 방법은 이러한 제약을 피한다.