[논문 리뷰] Diameter Spanner, Eccentricity Spanner, and Approximating Extremal Graph Distances: Static, Dynamic, and Fault Tolerant.

Keerti Choudhary, Omer Gold|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 방향 가중 그래프에서 그래프 지름의 $(1.5 + \epsilon)$-근사값과 정점 원심도의 $2$-근사값을 유지하기 위한 최초의 비트리비얼 동적 및 고장 내성 알고리즘을 제시한다. 극한거리 스팸너를 도입하며, $O(n^{1.5})$개 간선을 가진 $(1.5)$-지름-스팸너를 포함하고, 거의 최적의 평균 갱신 시간을 달성하여 $1.5$-근사값 지름에 대한 정적 기준에 거의 근접한다.

ABSTRACT

The diameter, vertex eccentricities, and the radius of a graph are some of the most fundamental graph parameters. Roditty and Williams [STOC 2013] gave an $O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing a 1.5 approximation of graph diameter. We present the first non-trivial algorithm for maintaining `< 2'- approximation of graph diameter in dynamic setting. Our algorithm maintain a $(1.5+\epsilon)$ approximation of graph diameter that takes amortized update time of $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$ in partially dynamic setting. For graphs whose diameter remains bounded by some large constant, the total amortized time of our algorithm is $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$, which almost matches the best known bound for static $1.5$-approximation of diameter. Backurs et al. [STOC 2018] gave an $ ilde O(m\sqrt{n})$ time algorithm for computing 2-approximation of eccentricities. They also showed that no $O(n^{2-o(1)})$ time algorithm can achieve an approximation factor better than $2$ for graph eccentricities, unless SETH fails. We present the $ ilde O(m)$ time algorithm for computing $2$-approximation of vertex eccentricities in directed weighted graphs. We also present fault tolerant data-structures for maintaining $1.5$-diameter and $2$-eccentricities. We initiate the study of Extremal Distance Spanners. Given a graph G=(V,E), a subgraph H=(V,E0) is defined to be a {\em $t$-diameter-spanner} if the diameter of $H$ is at most $t$ times the diameter of $G$. We show that for any $n$-vertex directed graph $G$ we can compute a sparse subgraph $H$ which is a $(1.5)$-diameter-spanner of $G$ and contains at most $O(n^{1.5})$ edges. We also show that this bound is tight for graphs whose diameter is bounded by $n^{1/4-\epsilon}$. We present several other extremal-distance spanners with various size-stretch trade-offs. Finally, we extensively study these objects in the dynamic and fault-tolerant settings.

연구 동기 및 목표

• 근사 그래프 지름과 정점 원심도를 유지하기 위한 최초의 동적 및 고장 내성 알고리즘을 개발하는 것.
• 지름과 원심도와 같은 극한 그래프 매개변수에 대해 동적 알고리즘의 격차를 메우며, 이전에 정적 환경 이외에서는 연구되지 않은 분야를 다루는 것.
• 극한거리 스팸너—근사 극한 거리를 유지하는 부분그래프—를 도입하고, 날카운 크기-스패스트 조정을 연구하는 것.
• 동적 지름과 원심도 근사에 거의 최적의 평균 갱신 시간을 달성하여, 핵심 영역에서 알려진 정적 기준과 일치시키는 것.

제안 방법

• 부분적으로 동적 그래프에서 $(1.5 + \epsilon)$-근사 지름을 유지하는 동적 알고리즘을 설계하며, 평균 갱신 시간이 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$임을 보장한다.
• 모든 $n$-정점 방향 그래프에 대해 $O(n^{1.5})$개 간선을 가진 새로운 $(1.5)$-지름-스팸너 구축법을 제안하며, 지름이 $O(n^{1/4 - \epsilon})$인 그래프에 대해 이것이 최적임을 증명한다.
• 간선 갱신에 따라 근사 거리를 유지하기 위해 힙셋과 거리 오라클 기반의 희소 부분그래프 구축법을 활용한다.
• 정적 $1.5$-근사 지름과 $2$-근사 원심도에 대한 접근 기법을 동적 및 고장 내성 환경으로 확장한다.
• 간선 또는 정점 장애 발생 시에도 스팸너를 유지하기 위해 고장 내성 데이터 구조를 활용하여 동적 환경에서의 내성 확보.
• 극한거리 스팸너와 동적 근사 알고리즘 간의 날카운 연결 고리를 활용하여 거의 최적의 경계를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근사 갱신 시간이 거의 최적인 동적 그래프에서 $(1.5 + \epsilon)$-근사 지름을 유지할 수 있는가?
• RQ2 원래 그래프의 지름에 대해 $1.5$-근사값을 유지하는 데 필요한 부분그래프의 최소 크기는 얼마인가?
• RQ3 방향 가중 그래프에서 정점 원심도의 $2$-근사값을 구하는 데 $\tilde{O}(m)$ 시간을 달성할 수 있는가, 심지어 동적 환경에서도?
• RQ4 극한거리 스팸너—예를 들어 $t$-지름-스팸너—는 동적 갱신과 고장 상황에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 방향 그래프에서 극한거리 스팸너의 날카운 크기-스패스트 조정은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 부분적으로 동적 그래프에서 $(1.5 + \epsilon)$-근사 지름을 유지하는 동적 알고리즘을 제시하며, 평균 갱신 시간이 $O(\epsilon^{-1}n^{1.25})$임을 보였다.
• 지름이 큰 상수로 제한된 그래프의 경우 총 평균 시간은 $O(\epsilon^{-2}\sqrt{n})$이며, 이는 $1.5$-근사 지름에 대해 알려진 최고의 정적 기준에 거의 근접한다.
• 새로운 $(1.5)$-지름-스팸너 구축법이 도입되었으며, $O(n^{1.5})$개 간선을 가지며, 지름이 $O(n^{1/4 - \epsilon})$인 그래프에 대해 이것이 최적임을 증명하였다.
• 논문은 방향 가중 그래프에서 정점 원심도의 $2$-근사값을 계산하는 데 $\tilde{O}(m)$-시간 알고리즘을 제시하였다.
• 극한거리 스팸너가 공식적으로 도입되었으며, $t$-지름-스팸너와 $t$-원심도-스팸너를 포함한 크기-스패스트 조정의 계층적 구조를 포함한다.
• 간선 또는 정점 장애 발생 시에도 $1.5$-지름 및 $2$-원심도 근사값을 유지하는 고장 내성 데이터 구조가 개발되었다.