[논문 리뷰] Diffeological gluing of vector pseudo-bundles and pseudo-metrics on them

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 자명하지 않은 조건에서도 작동하는, 벡터 피노-_bundle에 대한 리만계량의 미분구조적 유사체를 개발한다. 각 섬유에서 최소한의 비퇴화성을 갖는 피노-계량을 도입하고, 이러한 계량이 존재하고 미분구조적 접합에 의해 보존되는 조건을 확립한다. 접합된 피노-_bundle에서의 피노-계량이 구성 성분에서의 호환 가능한 피노-계량으로부터 유도됨을 보이며, 국소적으로 자명한 조건 하에서 이는 이중 피노-_bundle에 자연스럽게 유도된 이중 피노-계량을 유도한다.

ABSTRACT

Although our main interest here is developing an appropriate analog, for diffeological vector pseudo-bundles, of a Riemannian metric, a significant portion is dedicated to continued study of the gluing operation for pseudo-bundles introduced in arXiv:1509.03023. We give more details regarding the behavior of this operation with respect to gluing, also providing some details omitted from arXiv:1509.03023, and pay more attention to the relations with the spaces of smooth maps. We also show that a usual smooth vector bundle over a manifold that admits a finite atlas can be seen as a result of a diffeological gluing, and thus deduce that its usual dual bundle is the same as its diffeological dual. We then consider the notion of a pseudo-metric, the fact that it does not always exist (which seems to be related to non-local-triviality condition), construction of an induced pseudo-metric on a pseudo-bundle obtained by gluing, and finally, the relation between the spaces of all pseudo-metrics on the factors of a gluing, and on its result. We conclude by commenting on the induced pseudo-metric on the pseudo-bundle dual to the given one.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 자명하지 않은 조건에서도 리만계량의 개념을 미분구조적 벡터 피노-_bundle로 확장하기 위해.
• 비표준적인 유한차원 미분구조적 벡터 공간에서 표준적인 스칼라곱이 실패하는 문제를 최소한의 비퇴화성을 갖는 대칭 이항형으로 도입함으로써 해결하기 위해.
• 미분구조적 접합에 의한 벡터 피노-_bundle에 대한 피노-계량 이론을 개발하고, 원래 성분에서의 피노-계량과의 관계를 규명하기 위해.
• 주어진 피노-계량을 갖는 피노-_bundle에 대해, 국소적으로 자명한 조건 하에서 그 이중 피노-_bundle에 유도된 피노-계량을 정의하고 연구하기 위해.

제안 방법

• 국소적으로 자명하지 않아도 되는 조건에서, 미분구조적 벡터 피노-_bundle의 개념을 도입한다.
• 피노-계량을 이중 피노-_bundle의 대칭 텐서곱의 매끄러운 섹션으로 정의하며, 각 섬유에서 최소한의 비퇴화성을 갖는다.
• 문헌 [9]의 미분구조적 접합 구조를 적용하여, 겹치는 영역에서 호환 가능한 자료로부터 새로운 피노-_bundle를 구성한다.
• 접합된 성분에서의 호환 가능한 피노-계량 쌍에서 결과 피노-계량으로 가는 사상 $\mathcal{P}$를 확립하고, 이가 단사임을 보인다.
• 피노-계량 $g$에 의해 유도되는 자연스러운 쌍대화 사상 $\Phi: V \to V^*$를 $\Phi(v) = g(\pi(v))(v, \cdot)$로 정의하고, 이를 통해 이중 피노-계량을 구성한다.
• 피노-계량 $g$의 매끄러움으로부터 $\Phi$의 매끄러움을 증명하고, 국소적으로 자명한 조건을 이용하여 국소 미분동형사상과 평가 함수를 통해 유도된 이중 피노-계량 $g^*$가 매끄럽다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 미분구조적 벡터 피노-_bundle가 피노-계량을 갖는가? 그리고 이것이 접합에 의해 유도되는가?
• RQ2 미분구조적 접합의 성분에서의 호환 가능한 피노-계량은 결과 피노-_bundle의 피노-계량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 피노-계량이 피노-계량을 갖는 피노-_bundle에서 그 이중 피노-계량이 잘 정의되고 매끄럽게 유도될 수 있는가?
• RQ4 호환 가능한 피노-계량 쌍에서 접합된 피노-계량으로 가는 사상 $\mathcal{P}$는 항상 전사인가, 아니면 단지 단사인가?
• RQ5 이중 피노-계량의 존재는 국소적으로 자명한 조건을 필요로 하는가? 그리고 이 조건은 필수적인가?

주요 결과

• 국소적으로 자명한 조건을 만족하는 유한차원의 미분구조적 벡터 피노-_bundle가 피노-계량을 갖는다면, 그 이중 피노-_bundle에 대해 잘 정의되고 매끄러운 유도된 피노-계량이 존재한다.
• 접합된 성분에서의 호환 가능한 피노-계량 쌍에서 결과 피노-계량으로 가는 사상 $\mathcal{P}$는 항상 단사적이다. 이는 각 섬유로의 제한이 원래 계량을 복원하기 때문이다.
• 유도된 이중 피노-계량 $g^*$는 점별적으로 $g^*(x)(\Phi(v), \Phi(w)) := g(x)(v,w)$로 정의되며, $\Phi$의 핵이 $g(x)$의 등방성 부분공간이므로 잘 정의된다.
• $\Phi$의 매끄러움은 $g$의 매끄러움에서 유도되며, 국소적으로 자명한 영역에서의 매끄러움을 이용해 유도된 $g^*$도 매끄럽다.
• $g^*$의 구성은 $\pi^{-1}(x)$ 내부에 $\Phi|_{V_0}$가 이중 섬유로의 미분동형사상이 되는 부분공간 $V_0 \subset \pi^{-1}(x)$의 존재에 의존하며, 이는 이중 피노-_bundle의 국소적 자명화를 가능하게 한다.
• 이중 피노-계량 $g^*$의 매끄러움에 대해 국소적으로 자명한 조건이 필수적인지 여부는 여전히 열린 질문이며, 논문에서는 이 조건이 반드시 필요하다는 것을 확인하지 못하고 있다.