[논문 리뷰] Diffusion-based models for financial markets without martingale measures

Claudio Fontana, Wolfgang J. Runggaldier|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 20.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 48인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 등급이 없는 국소 마팅글러 측도(ELMM)가 존재하지 않을 경우에도 확산으로 모델링된 금융시장이 성실하고 완전할 수 있음을 입증한다. 이를 위해 성장 최적 포트폴리오(GOP)를 니아라로 사용한다. 이는 실세계 확률 측도 하에서 GOP 할인 기대값을 통해 연계된 금리 상품을 가격 매기고 헤지할 수 있음을 보여주며, 버블이 존재하거나 ELMM가 없는 모델에서 위험 중립 가격 설정의 강력한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a general class of diffusion-based models and show that, even in the absence of an Equivalent Local Martingale Measure, the financial market may still be viable, in the sense that strong forms of arbitrage are excluded and portfolio optimisation problems can be meaningfully solved. Relying partly on the recent literature, we provide necessary and sufficient conditions for market viability in terms of the market price of risk process and martingale deflators. Regardless of the existence of a martingale measure, we show that the financial market may still be complete and contingent claims can be valued under the original (real-world) probability measure, provided we use as numeraire the Growth-Optimal Portfolio.

연구 동기 및 목표

• 등급이 없는 국소 마팅글러 측도(ELMM)가 존재하지 않을 경우에도 강력한 아웃리어지(강력한 무위험 이득)가 없는 금융시장이 유지를 위한 조건을 확립하는 것.
• ELMM가 없더라도 시장의 완전성과 연계된 금리 상품의 평가가 가능하며, 이를 위해 성장 최적 포트폴리오(GOP)를 니아라로 사용하는 것.
• 물리적 측도 하에서 GOP 할인 기대값을 사용해 실세계 가격 설정 프레임워크를 제공하는 것.
• 확산 기반 모델에서 벤치마크 접근법과 스토하스틱 포트폴리오 이론의 결과를 통합하고 확장하는 것.
• 특히 로그 utility 함수의 경우, 유용성에 의한 가격 결정 가격이 GOP 니아라 기반 실세계 가격과 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 저자들은 최소한의 기술적 가정 하에서 이토 과정과 국소 마팅글러 디플레이터를 핵심 도구로 사용해 확산 기반 금융 모델의 일군을 분석한다.
• NFLVR보다 더 약한 무 arbitrage 조건을 정의하고 분석하며, 특히 제1종 아웃리어지와 증가 수익이 없는 조건에 집중한다.
• 성장 최적 포트폴리오(GOP)는 장기적 성장을 극대화하는 유일한 전략으로 명시적으로 구성되며, 이를 통해 니아라 포트폴리오가 생성됨을 보여준다.
• 마팅글러 디플레이터의 역수는 GOP 가치 과정으로 식별되며, 이는 무 arbitrage 조건과 GOP 구조를 연결한다.
• 특히 로그 utility의 경우 유용성 최적화와 쌍대성 방법을 사용해 명시적인 가격 공식을 유도한다.
• 마르코프 성질을 가진 가정 하에서 불완전 시장으로 결과를 확장하며, GOP의 마르코프 성질을 활용해 이토의 공식을 통해 헤지 전략을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등급이 없는 국소 마팅글러 측도(ELMM)가 존재하지 않을 경우에도 금융시장이 유실 가능하고 강력한 아웃리어지가 없는가?
• RQ2 ELMM가 없더라도 시장의 완전성은 여전히 달성 가능한가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ3 위험 중립 측도 없이도 실세계 확률 측도 하에서 연계된 금리 상품을 의미 있게 가격 매기고 헤지할 수 있는가?
• RQ4 실세계 가격 설정과 헤지에서 성장 최적 포트폴리오(GOP)가 니아라로 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 유용성 함수에 대해 유용성에 의한 가격 결정 가격이 GOP 니아라 기반 실세계 할인 기대값과 일치하는가?

주요 결과

• 시장 가격 리스크 과정이 제곱 적분 가능할 때이고 그 때에만 금융시장은 제1종 아웃리어지와 증가 수익이 없는 유실 가능 시장이 된다.
• 성장 최적 포트폴리오(GOP)는 존재하고 유일하며, 그 가치 과정은 니아라 포트폴리오로 기능하여 실세계 가격 설정을 가능하게 한다.
• ELMM가 없더라도 물리적 확률 측도 하에서 연계된 금리 상품의 가치는 GOP 할인 기대값으로 평가할 수 있다.
• 로그 유용성의 경우, 로그 유용성에 의한 가격 결정 가격은 실세계 가격과 일치한다: $ p_{\log}(H) = \mathbb{E}\left[\frac{H}{V_T^{\pi^*}}\right] $, 이는 보편적인 가격 공식을 제공한다.
• GOP 할인 가치 과정은 물리적 측도 하에서 마팅글러이며, 그 역수는 마팅글러 디플레이터이다. 이는 무 arbitrage 조건과 시장 구조를 연결한다.
• 마르코프 설정에서 GOP 기반 가격 설정 및 헤지 프레임워크는 마르코프 성질과 이토의 공식을 통해 불완전 시장으로 확장되며, 명시적인 전략 구축을 가능하게 한다.