[논문 리뷰] Dissipativity and optimal control

Lars Grüne|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 29.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 72인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 소산성과 최적 제어 사이의 기초적인 연결 고리를 확립하며, 엄격한 소산성이 전환점 성질(최적 궤도가 대부분의 시간 동안 안정 상태 근처에 머무름)을 보장함으로써 모델 예측 제어(MPC)에서 안정성과 성능 보장을 가능하게 한다. 주요 기여는 선형 저장 함수를 갖는 엄격한 소산성이 라플라스 기반 안정성 분석과 MPC 계획에서 최적의 일시적 및 평균 비용 근사치를 가능하게 한다는 것을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

The close link between dissipativity and optimal control is already apparent in Jan C. Willems' first papers on the subject. In recent years, research on this link has been revived with a particular focus on nonlinear problems and applications in model predictive control (MPC). This paper surveys these recent developments and some of Willems' and other authors' earlier results.

연구 동기 및 목표

• 소산성과 최적 제어 사이의 이론적 연결 고리를 명확히 하여, 특히 모델 예측 제어(MPC)의 맥락에서 이를 다루는 것.
• 엄격한 소산성이 전환점 성질을 유도함을 보여주며, 최적 궤도가 시간 영역의 대부분 동안 안정 상태 근처에 머무르게 된다는 점을 설명하는 것.
• 종료 조건 없이 MPC 계획의 안정성과 성능 분석을 확장하기 위해 소산성과 전환점 현상의 특성을 활용하는 것.
• 이산 및 연속 시간 모두에서 소산성, 탐지 가능성, 최적 제어를 연결하는 최근의 발전을 통합하고 서술하는 것.
• 무한차원 시스템과 확률적 최적 제어로 이러한 결과를 확장하는 데 있어 열려 있는 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• 저장 함수 λ(x)와 공급률 s(x,u)를 갖는 엄격한 소산성 개념을 사용하여 MPC 닫힘 루프 안정성의 라플라스 함수를 유도한다.
• MPC에서 강한 이중성을 적용하여, 선형 저장 함수를 갖는 엄격한 소산성이 라플라스 함수를 유도함으로써 점근적 안정성을 보장함을 보인다.
• 엄격한 소산성과 가용성 조건을 동시에 만족할 경우 전환점 성질이 발생하며, 궤도가 최적의 평형점 근처에 머물게 된다는 것을 증명한다.
• 종료 조건이 없는 MPC의 성능 한계를 유도하며, 닫힘 루프 비용이 최적의 일시적 비용에 오차 항 δ₁(T)과 δ₂(S)를 더한 값으로 유계임을 보인다.
• 전환점 성질을 활용하여, 종료 제약 조건이 없더라도 MPC가 약간의 최적 평균 비용과 일시적 비용을 달성할 수 있음을 증명한다.
• 과거 최적성 기준을 사용하여 시간에 따라 변하는 및 주기적인 최적 궤도로의 프레임워크를 확장함으로써, 평형 설정 외의 적용 가능성을 넓힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 소산성은 모델 예측 제어(MPC) 계획의 안정성과 성능과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 최적 제어에서 전환점 성질이 발생하기 위한 조건는 무엇이며, 엄격한 소산성과 어떻게 연결되어 있는가?
• RQ3 종료 조건이 없는 MPC의 성능 한계는 소산성과 전환점 성질을 통해 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 엄격한 소산성은 비선형 시스템에서 전통적인 탐지 가능성 개념과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 소산성 기반 분석은 무한차원 시스템과 확률적 최적 제어 문제로 어느 정도까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 선형 저장 함수를 갖는 엄격한 소산성은 MPC에서 강한 이중성과 동치이며, 이는 라플라스 기반 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 엄격한 소산성과 가용성 조건이 동시에 성립할 경우 전환점 성질이 발생하며, 이는 최적 궤도가 시간 영역의 대부분 동안 평형점 근처에 머무름을 보장한다.
• 종료 조건이 없는 MPC의 경우 평균 비용은 $\overline{J}^{MPC}_{\infty}(x_0) \leq \ell(x^e,u^e) + \delta_1(T)$를 만족하며, $\delta_1(T)$는 $T$가 증가함에 따라 감소한다.
• 종료 조건이 없는 MPC의 일시적 비용은 $J^{MPC}_S(x_0) \leq \inf_{u\in\widetilde{\mathbb{U}}^S} J_S(x_0) + S\delta_1(T) + \delta_2(S)$로 유계이며, $\delta_1(T)$와 $\delta_2(S)$는 오차 항이다.
• 정의된 단계 비용의 경우, $J^{MPC}_\infty(x_0)$는 종료 조건 없이도 유한하며, 수평 기간 $T$가 클수록 성능 한계가 향상된다.
• 일시적 비용 유계에서 $S\delta_1(T)$ 항은 닫힘 루프가 평형점으로 수렴하지 않을 경우 잔류 단계 비용의 누적을 반영하며, 실질적 점근적 안정성의 자연스러운 결과이다.