[논문 리뷰] Division Algebras, Supersymmetry and Higher Gauge Theory

John Huerta|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 3, 4, 6, 10차원(3-코호몰로지에 의해)과 4, 5, 7, 11차원(4-코호몰로지에 의해)에서, 노름을 가진 분할 대수와 관련된 스핀어르개 항등식에 기반한 피카르 에너지 대수의 코호몰로지에서 유도되는 리 n-보조대수를 구성함으로써, 분할 대수, 초대칭성, 고차 게이지 이론 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 이는 피카르 보조군을 확장하는 적분 가능한 리 2-보조군과 리 3-보조군의 존재를 증명하며, 이러한 차원들에서 초끈과 2-brane의 고차 대칭성에 대한 기하학적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

From the four normed division algebras--the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions, of dimension k=1, 2, 4 and 8, respectively--a systematic procedure gives a 3-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+2=3, 4, 6 and 10, and a 4-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+3=4, 5, 7 and 11. The existence of these cocycles follow from spinor identities that hold only in these dimensions, and which are closely related to the existence of the superstring in dimensions k+2, and the super-2-brane in dimensions k+3. In general, an (n+1)-cocycle on a Lie superalgebra yields a `Lie n-superalgebra': that is, roughly, an n-term chain complex equipped with a bracket satisfying the axioms of a Lie superalgebra up to chain homotopy. We thus obtain Lie 2-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+2, and Lie 3-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+3. We present evidence, based on the work of Sati, Schreiber and Stasheff, that these Lie n-superalgebras describe infinitesimal `higher symmetries' of the superstring and 2-brane. Generically, integrating a Lie n-superalgebra to a Lie n-supergroup yields a `Lie n-supergroup' that is hugely infinite-dimensional. However, when the Lie n-superalgebra is obtained from an (n+1)-cocycle on a nilpotent Lie superalgebra, there is a geometric procedure to integrate the cocycle to one on the corresponding nilpotent Lie supergroup. In general, a smooth (n+1)-cocycle on a supergroup yields a `Lie n-supergroup': that is, a weak n-group internal to supermanifolds. Using our geometric procedure to integrate the 3-cocycle in dimensions k+2, we obtain a Lie 2-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions, and similarly integrating the 4-cocycle in dimensions k+3, we obtain a Lie 3-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions.

연구 동기 및 목표

• 노름을 가진 분할 대수와 관련된 시공간 차원에서 고차 게이지 대칭성의 체계적인 구성 방법을 수립하기 위해.
• 3-코호몰로지와 4-코호몰로지가 3, 4, 6, 10차원과 4, 5, 7, 11차원에서 고유한 스핀어르개 항등식에 기반하여 피카르 보조대수에서 유도됨을 보여주기 위해.
• 이러한 코호몰로지에서 유도된 리 n-보조대수를 구성하여 초끈과 2-brane의 무한소 고차 대칭성을 모델링하기 위해.
• 노름을 가진 리 n-보조대수의 기하학적 통합 절차를 개발하기 위해.
• 로렌츠 군의 작용 하에서 통합된 코호몰로지가 불변임을 증명하여 피카르 보조군 전체로의 확장을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 1, 2, 4, 8차원의 네 가지 노름을 가진 분할 대수—실수, 복소수, 허수, 옥터니언—를 사용하여 k+2 및 k+3차원의 시공간 차원을 생성한다.
• 이 차원들에서 스핀어르개 항등식을 적용하여 피카르 보조대수에서 (n+1)-코호몰로지를 구성함으로써 리 n-보조대수를 유도한다.
• 리 보조대수 코homology를 사용하여 리 n-보조대수를 체인 복합체로 정의하며, 이는 호모토피 리 보조대수 공리에 만족하는 브라켓을 가진다.
• 노름을 가진 리 보조대수의 기하학적 통합 절차를 도입하여, 단체 적분을 통해 리 보조대수에서 리 보조군으로 코호몰로지를 승격시킨다.
• 노름을 가진 리 보조군에서 표준적인 왼쪽 불변 단체의 개념을 사용하고, 군 작용 하에서 통합된 코호몰로지가 G-불변임을 증명한다.
• 로렌츠 군과의 반직접곱 구조를 통해 초이동군에서의 통합된 코호몰로지를 피카르 보조군 전체로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 대수가 어떻게 초끈과 2-brane가 존재하는 시공간 차원을 만들어내는가?
• RQ2 3-코호몰로지가 3, 4, 6, 10차원과 4-코호몰로지가 4, 5, 7, 11차원에서 기인하는 대수적 기원은 무엇인가?
• RQ3 이러한 코호몰로지에서 유도된 리 n-보조대수는 리 n-보조군으로 통합될 수 있는가?
• RQ4 로렌츠 군 작용 하에서 통합된 코호몰로지의 불변성은 어떻게 확립되는가?
• RQ5 이러한 고차 대칭성의 기하학적 의미는 초중력론과 M-이론에 대해 무엇인가?

주요 결과

• 3차원, 4차원, 6차원, 10차원에서 피카르 보조대수의 3-코호몰로지는 k = 1, 2, 4, 8차원의 노름을 가진 분할 대수와 관련된 스핀어르개 항등식에 기반한다.
• 4차원, 5차원, 7차원, 11차원에서의 4-코호몰로지 역시 동일한 대수적 구조에서 기인하며, 이는 슈퍼 2-브레인의 존재와 연결된다.
• 3-코호몰로지에서 유도된 리 2-보조대수는 k+2차원에서 초끈의 무한소 대칭성을 모델링한다.
• 4-코호몰로지에서 유도된 리 3-보조대수는 k+3차원에서 2-브레인의 무한소 대칭성을 모델링한다.
• 초이동군 T에서의 3-코호몰로지 ∫α는 Spin(k+1,1)의 작용 하에서 불변이며, 이는 피카르 보조군 전체인 SISO(k+1,1)로의 확장을 가능하게 한다.
• 초이동군 T에서의 4-코호몰로지 ∫β는 Spin(k+2,1)의 작용 하에서 불변이며, 이는 SISO(k+2,1)로의 확장을 가능하게 하여 슈퍼 끈 리 2-보조군과 2-브레인 리 3-보조군의 구축을 이끈다.