[논문 리뷰] Dorfman connections and Courant algebroids

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 접속을 코르누트 대수다발로 일반화한 도르프만 접속을 도입한다. 이는 접속이 리 대수다발에 대해 어떻게 작용하는지와 유사하다. 선형 분할이 $TE \oplus T^*E$의 폰트리아진 배럴과 대응함을 증명하고, 이를 통해 $TE \oplus T^*E$ 위의 표준 코르누트 대수다발의 구조를 특성화하며, 리 대수다발 $A$ 위에서의 $TA \oplus T^*A$ 분할을 연구한다. 이는 표현 up to homotopy와 VB-, LA-디라크 구조를 포함한다.

ABSTRACT

We define Dorfman connections, which are to Courant algebroids what connections are to Lie algebroids. Several examples illustrate this analogy. A linear connection $ abla\colon \mathfrak{X}(M) imesΓ(E) oΓ(E)$ on a vector bundle $E$ over a smooth manifold $M$ is tantamount to a linear splitting $TE\simeq T^{q_E}E\oplus H_ abla$, where $T^{q_E}E$ is the set of vectors tangent to the fibres of $E$. Furthermore, the curvature of the connection measures the failure of the horizontal space $H_ abla$ to be integrable. We show that linear horizontal complements to $T^{q_E}E\oplus (T^{q_E}E)^\circ$ in the Pontryagin bundle over the vector bundle $E$ can be described in the same manner via a certain class of Dorfman connections $Δ\colon Γ(TM\oplus E^*) imesΓ(E\oplus T^*M) oΓ(E\oplus T^*M)$. Similarly to the tangent bundle case, we find that, after the choice of a linear splitting, the standard Courant algebroid structure of $TE\oplus T^*E o E$ can be completely described by properties of the Dorfman connection. As an application, we study splittings of $TA\oplus T^*A$ over a Lie algebroid $A$ and, following Gracia-Saz and Mehta, we compute the representations up to homotopy defined by any linear splitting of $TA\oplus T^*A$ and the linear Lie algebroid $TA\oplus T^*A o TM\oplus A^*$. Further, we characterise VB- and LA-Dirac structures in $TA\oplus T^*A$ via Dorfman connections.

연구 동기 및 목표

• 코르누트 대수다발의 맥락에서 선형 접속의 자연스러운 일반화로서 도르프만 접속을 정의하고 체계화하는 것.
• 선형 분할이 $TE \oplus T^*E$의 폰트리아진 배럴과 도르프만 접속 $E \oplus T^*M$ 사이의 일대일 대응을 수립하는 것.
• 도르프만 접속의 성질을 이용하여 $TE \oplus T^*E$ 위의 표준 코르누트 대수다발의 구조를 특성화하는 것.
• $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$의 연장 구조를 연구하고, 이의 리 대수다발의 구조와 관련된 표현 up to homotopy를 포함하는 것.
• 도르프만 접속의 프레임워크를 사용하여 $TA \oplus T^*A$ 내의 VB-디라크 및 LA-디라크 구조를 분류하는 것.

제안 방법

• 코르누트 대수다발으로의 선형 접속의 일반화로서, $\Gamma(TM \oplus E^*) \times \Gamma(E \oplus T^*M) \to \Gamma(E \oplus T^*M)$인 도르프만 접속 $\Delta$를 정의한다.
• 수평 보조 공간이 $T^{q_E}E \oplus (T^{q_E}E)^\circ$에 대한 보조 공간을 통해, $TE \oplus T^*E$의 선형 분할과 $E \oplus T^*M$ 위의 도르프만 접속 사이의 일대일 대응를 수립한다.
• 표준 코르누트 대수다발의 구조를 도르프만 접속의 성질을 통해 재구성하기 위해, $TE \oplus T^*E$ 위의 자연스러운 쌍대성, 앵커, 코르누트-도르프만 괄호를 사용한다.
• 연장 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$에 이 프레임워크를 적용하여, 선형 분할에 의해 유도된 도르프만 접속으로부터 리 대수다발의 구조가 유도됨을 보인다.
• 도르프만 접속에 의해 보존되고 코르누트 괄호와 호환되는 부분다발로 VB-디라크 및 LA-디라크 구조를 특성화한다.
• 도르프만 접속과 유도된 리 대수다발의 구조를 사용하여, $TA \oplus T^*A$의 임의의 선형 분할에 관련된 표현 up to homotopy를 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수다발의 접속은 어떻게 코르누트 대수다발으로 일반화될 수 있으며, 이 설정에서 곡률이 무엇으로 대체되는가?
• RQ2 $TE \oplus T^*E$의 선형 분할과 $E \oplus T^*M$ 위의 도르프만 접속 사이의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ3 도르프만 접속은 $TE \oplus T^*E$ 위의 전체 코르누트 대수다발의 구조를 어떻게 캐릭터라이즈하는가?
• RQ4 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$의 리 대수다발의 구조는 무엇이며, 도르프만 접속으로 어떻게 결정되는가?
• RQ5 $TA \oplus T^*A$ 내의 VB- 및 LA-디라크 구조 중 도르프만 접속으로부터 유도되는 것은 무엇이며, 어떻게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 분할 $TE \oplus T^*E$는 정확히 $E \oplus T^*M$ 위의 도르프만 접속 $\Delta$에 대응하며, 일대일 대응이 성립한다.
• 표준 코르누트 대수다발의 구조 $TE \oplus T^*E$는 도르프만 접속의 앵커, 쌍대성, 코르누트-도르프만 괄호의 성질에 의해 완전히 결정된다.
• $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$의 연장은 선형 분할에 의해 유도된 도르프만 접속으로부터 유도된 리 대수다발의 구조를 갖는다. 이 괄호는 리 도함수와 앵커 사상으로 계산된다.
• 임의의 선형 분할에 대해 $TA \oplus T^*A$의 표현 up to homotopy는 도르프만 접속의 작용을 통해 명시적으로 계산되며, 이에 의해 유도됨을 보였다.
• VB-디라크 및 LA-디라크 구조는 도르프만 접속에 의해 보존되고 코르누트 괄호 및 쌍대성과 호환되는 부분다발로 특성화된다.
• 리 대수다발의 괄호 $TA \oplus T^*A$는 도르프만 접속으로부터 완전히 재구성되며, $a^l$, $(a', \theta')^\dagger$ 및 그 조합의 기본 섹션 괄호에 대한 명시적 공식이 제공된다.